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1、主要内容：一、函数的连续性二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质第一章 函数与极限第八-九节 连续函数的概念与性质一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如，多项式函数在R上是连续的。四则运算的连续性定理1例如,意义1.极限符号可以与函数符号互换;例3解定理2二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义,
2、 则可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解例8解内容小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题1思考题1解答且1、一类；一类；二类。2、定理3 基本初等函数在定义域内是连续的.定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.三、初等函数的连续性初等函数仅在其定义区间内连续, 在其 定义域内不一定连续;
3、例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意1注意2 初等函数求极限的方法代入法.例9例10解解四. 连续性在求极限中的应用利用函数y=f(u)在u=A点连续的定义，可以证明，如果特别：（1）当f(u)=au 则（2）当f(u)=logau 则(3)当f(u)=(为实数)，则特别：第二章中的对数函数、幂函数、指数函数求导公式 的推导过程要用到下面几个极限 例11. 求下列极限（a0 a1） 解：（1）(重要极限)=lne=11、最大值和最小值定理定义:例如,五、闭区间上连续函数的性质定理3(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开
4、区间, 定理不一定成立;2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.定理4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.证2、介值定理定义:几何解释:几何解释:M B CAma b证由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值.例11证由零点定理,例12证由零点定理,小结四个定理最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.注意 1闭区间； 2连续函数这两点不满足, 上述定理不一定成立解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;但反之不成立.例但思考题2下述命题是否正确？思考题2解答不正确.例函数六、习题演练
