2007高三数学回归书本知识整理（代数部分）

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1、江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理（代数部分）江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理（代数部分） 一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑 1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性. 2.对集合，时，你是否注意到“极端”情况：或；求集合的子集AB、AB A B 时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为nM，n2，12 n，12 n. 22 n4.“交的补等于补的并，即” ；“并的补等于补的交，即()UUUCABC AC B()UUUCABC AC B5.集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

2、 注意：区分集合中元素的形式：如：；12|2xxyxA12|2xxyyB；12| ),(2xxyyxC12|2xxxxD, 12| ),(2ZyZxxxyyxE；12| ),(2xxyyxF, 12|2 xyzxxyzG6.符号“”是表示元素与集合之间关系的，符号“”是表示集合与集合之间关系的。,7.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；8.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若，则 A 是BAB 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B

3、，则 A 是 B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；“ABBA“9.反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，pqqp步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、 “唯一”等字眼时。10.书本重要习题：书本重要习题：习题 1.3 7，8 习题 1.5 7 习题 1.7

4、2，3，4 复习参考题一 (A)11, 12, 13 (B)1, 2, 3, 6 二、函二、函 数数 1.指数式、对数式指数式、对数式，mnmnaa1m n m na alogaNaN，.log(0,1,0)b aaNNb aaN，01a log 10alog1aa lg2lg51loglnexx，.logloglogc a cbbaloglogmn aanbbm2.(1)映射映射是“全部射出加一箭一雕 ” ；映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合A 中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个） ；BAB 函数是“非空数集上的映射” ，其中“值域是

5、映射中像集的子集”. B (2)函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.xy(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分 三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：，1( )( )f abfba1( )f fxx1 ( )ff xx但.11( ) ( )f fxff x函数的反函数是，而不是.(1)yf x1( ) 1yfx1(1)yfx（5）函数解析式的求法：定义法（拼凑）：换元法：待定系数法：赋值法： （6

6、）函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；),(,)(2nmxcbxaxxf逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范yxxy围；常用来解，型如：；),(,nmxdcxbaxy换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；)0(kxkxy单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3.单调性和奇偶性单调性和奇偶性

7、判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0 或（f(x)0）;1 )()(xfxf(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若 有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其 反函数一定还是奇函数. 注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法 有：定义法、图像法等等. 对于偶函数而言有：.()( )(|)fxf xfx（2）若奇函数定义域中有 0，则必有.即的定义域时，是为奇函(0)0f0( )f x(0)0f( )f x数的必要非

8、充分条件. （3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定） 、导数法；在选择、 填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等. （4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”. (6)函数单调是单调是函数有反函数的充分非必要条件有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意( )0(0)f xx( )0f x 一个数集）. (7)复合函数的单调性特点

9、是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”. 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。 （即复合有意义）（8）导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数0)( xf)(xf0)( xf)(xf在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要3)(xxf),(0)( xf0)( xf)(xf条件。时，与为增函数的关系。0)( xf0)( xf)(xf若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一0)( xf0)( xf)(xf定有。当时，是为增函数的充分

10、必要条件。0)( xf0)( xf0)( xf)(xf与为增函数的关系。0)( xf)(xf为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或)(xf0)( xf0)( xf0)( xf。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。0)( xf0)( xf)(xf是为增函数的必要不充分条件。0)( xf)(xf函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已

11、知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 )(xfy )(xfy （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，)(xfy0)( xf0)( xf解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。)(xfy 求极值、求最值。注意：极值最值。函数 f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。f/(x0)0 不能得到当 x=x0时，函数有极值。但是，当 x=x0时，函数有极

12、值 f/(x0)0 判断极值，还需结合函数的单调性说明4.4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）(1)函数与函数的图像关于直线（轴）对称. xfy xfy0xy推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的 xfy xRf axf bx xfy 图像关于直线（由“和的一半确定”）对称.2abxx()() 2axbxx推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称.xafyyf bx2baxaxbx(2)函数与函数的图像关于直线（轴）对称. xfy xfy0yx推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半 xfy yAf x2Ay y确定”

13、）. ( )( ) 2f xAf xy(3)函数与函数的图像关于坐标原点中心对称. xfy yfx 推广：函数与函数的图像关于点中心对称. xfy ymf nx( ,)2 2n m(4)函数与函数的图像关于直线对称. xfy 1yfxyx推广：曲线曲线关于直线关于直线的对称曲线是的对称曲线是；( , )0f x y yxb(,)0f yb xb曲线曲线关于直线关于直线的对称曲线是的对称曲线是.( , )0f x y yxb (,)0fybxb (5)曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线是（逆逆时针时针横横变变再交再交换换）.( , )0f x y 90( ,)0f yx特别特别：绕原点逆时针旋转，得

14、，若有反函数，则得( )yf x90( )xf y ( )yf x1( )yfx.1()yfx曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线是（顺时针纵变再交换顺时针纵变再交换）.( , )0f x y 90(, )0fy x特别特别：绕原点顺时针旋转，得，若有反函数，则得( )yf x90()xfy( )yf x1( )yfx.1( )yfx (6)类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为( )yf x,()xa xb ab( )yf x.2|Tab若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为( )yf x( ,0), ( ,0)()A aB bab( )yf x.2|Tab

15、如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴，则函数必是( )yf x( ,0)A a()xb ab( )yf x周期函数，且一周期为.4|Tab如果是 R 上的周期函数，且一个周期为，那么.( )yf xT()( )()f xnTf x nZ若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函数；若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 4a的周期函数；若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为 2的周期函数；ba 若 y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2的周期函数；ba 特别特别：若恒成立，则.()( )(0)f xaf x a 2Ta若恒成立，