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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）数学（理工类）本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟第分钟第卷卷 1 至至 2 页，第页，第卷卷 3 至至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利祝各位考生考试顺利!第第卷卷注意事项：注意事项：1答第答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题
2、卡上，并在规定位置粘 贴考试用条形码贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共本卷共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式AB，()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R()( )( )P A BP A P B一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项
3、是符合题目要求的一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 是虚数单位，（ ）i32i 1 i 1 i1 i 1 i1 i 2设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）xy，1133xyxyxy ， 4zxy41112143 “”是“”的（ ）2 3tan2cos2充分而不必要条件必要而不充分条件 充分必要条件既不充分也不必要条件4设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线22221(00)xyabab，3的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）24yx22 11224xy22 14896xy222133xy22 136xy5函数的反函数是（ ）2log (42)(0)yx
4、x142(2)xxyx142(1)xxyx242(2)xxyx242(1)xxyx6设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）ab，若与所成的角相等，则ab，ab若，则ab，ab若，则abab，若，则ab，ab7在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函R( )f x( )(2)f xfx( )f x12，数，则（ ）( )f x在区间上是增函数，在区间上是增函数 21，3 4，在区间上是增函数，在区间上是减函数 21，3 4，在区间上是减函数，在区间上是增函数 21，3 4，在区间上是减函数，在区间上是减函数 21，3 4，8设等差数列的公差不为 0，若是与的等比中项，则
5、（ nad19adka1a2kak ） 24689设均为正数，且，则（ ）abc，1 22logaa1 21log2b b21log2c cabccbacabbac10设两个向量和，其中为实22(2cos)，asin2mm，bm，数若，中央电视台的取值范围是（ ）2abm4 8，2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类数学（理工类）第第卷卷注意事项：注意事项：1答案前将密封线内的项目填写清楚答案前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3本卷共本卷共 12 小题，共小题，共 100 分分
6、二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上11若的二项展开式中的系数为，则 （用数字作答） 6 21xax2x5 2a 12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 13设等差数列的公差是 2，前项的和为，则 nadnnS22 limnnnan S14已知两圆和相交于两点，则直线的方2210xy22(1)(3)20xyAB，AB程是 15如图，在中，ABC ，是边上一点，12021BACABAC，DBC，则 2DCBDAD BC 16如
7、图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂 一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则 不同的涂色方法共有 种（用数字作答） ABDC三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 76 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分）已知函数( )2cos (sincos ) 1f xxxxxR，（）求函数的最小正周期；( )f x（）求函数在区间上的最小值和最大值( )f x 3 84 ，18 （本小题满分 12 分） 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒
8、内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球 （）求取出的 4 个球均为黑球的概率； （）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，底面，PABCDPA ABCD ，是的中点60ABADACCDABC，PAABBCEPC（）证明；CDAE （）证明平面；PD ABE（）求二面角的大小APDC20 （本小题满分 12 分）已知函数，其中2221( )()1axaf xxxRaR（）当时，求曲线在点处的切线方程；1a ( )yf x(2(2)f，（）当时，求函
9、数的单调区间与极值0a ( )f xABCDPE21 （本小题满分 14 分）在数列中，其中 na1 112(2)2 ()nn nnaaan N，0（）求数列的通项公式； na（）求数列的前项和； nannS（）证明存在，使得对任意均成立kN11nknkaa aanN22 （本小题满分 14 分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，22221(0)xyabab12FFA，原点到直线的距离为212AFFFO1AF11 3OF（）证明；2ab（）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，12QQ，12OQOQO12QQOD垂足为，求点的轨迹方程DD2007 年普通高等学校招生全国统一考试（天津
10、卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 50 分分 12345 678910 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分分，满分 24 分分112121331414151639030xy8 3三、解答题 17本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力满分 12 分sin()yAx（）解：( )2cos (sin
11、cos ) 1sin2cos22sin 24f xxxxxxx 因此，函数的最小正周期为( )f x（）解法一：因为在区间上为增函数，在区间( )2sin 24f xx 3 88 ，上为减函数，又，3 3 84 ，08f328f，332sin2cos14244f 故函数在区间上的最大值为，最小值为( )f x 3 84 ，21解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：( )2sin 24f xx 9 84 ，由图象得函数在区( )f x间上的最大值为 3 84 ，最小2值为314f 18本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基 础知识，考查运用概率知识
12、解决实际问题的能力满分 12 分 （）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件， “从乙盒内取出的 2 个球均A为黑球”为事件由于事件相互独立，且，BAB，2 3 2 41( )2CP AC2 4 2 62( )5CP BC故取出的 4 个球均为黑球的概率为121()( )( )255P A BP A P B（）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件， “从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内C取出的 2 个球均为黑球”为事件由于事件互斥，DCD，且，211 324 22 464( )15CC
13、CP CCC12 34 22 461()5CCP DCC故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为417()( )()15515P CDP CP D（）解：可能的取值为由（） ， （）得，012 3，1(0)5P7(1)15P从而1 3 22 4611(3)30CPCC3(2)1(0)(1)(3)10PPPP 的分布列为0123P1 57 153 101 30yxO22 的数学期望17317012351510306E 19本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力满分 12 分（）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故PABCDPA ABCDCD ABCD PACD ，平面ACCDPAACA，CD PAC而平面，AE PACCDAE （）证明：由，可得PAABBC60ABCACPA 是的中点，EPCAEPC由（）知，且，所以平面AECDPCCDCAE PCD而平面，PD PCDAEPD底面在底面内的射影是，PA ABCDPD，ABCDADABADABPD又，综上得平面ABAEAPD ABE（）解法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面AAMPDMEMAE
