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1、江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理( (解析几何解析几何) )直线部分直线部分一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点交点按逆时针逆时针xx方向旋转方向旋转到和直线重合直线重合时所转的最小正角最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是xo0；oo1800（2）直线的斜率：倾斜角不是倾斜角不是的直线的直线，它的倾斜角的正切倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，o90tank斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。o90x
2、每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不x存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 斜率计算公式：设经过和两点的直线的斜率为，),(11yxA),(22yxBk则当时，；当时，；斜率不存在；21xx 2121tanxxyyk21xx o90二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：；),(00yxk)(00xxkyy注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；0xx 表示：直线上除去直线上除去的图形的图形 。kxxyy00)(00xxky
3、y),(00yx（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：；ybkbkxy注意：正确理解“截距截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与方向性，有正负之分，与“距离距离”有区别有区别。（3）两点式：若已知直线经过和两点，且（） ，则直线的方程：),(11yx),(22yx2121,yyxx；121121 xxxx yyyy 注意：不能表示与轴和轴垂直的直线；xy当两点式方程写成如下形式时，方程方程0)()(112112xxyyyyxx可以适应在于任何一条直线可以适应在于任何一条直线。（4）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：xyab0, 0ba；1by
4、 ax注意：不能表示与不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的xy直线，要谨慎使用直线，要谨慎使用。（5）参数式：（ 为参数）其中方向向量为，； ； btyyatxx00t),(ba),( 2222babbaaabk ； 22| batPPo 点对应的参数为，则；21,PP21,tt 2221 21| battPP （ 为参数）其中方向向量为， 的几何意义为；斜 sincos00 tyytxxt)sin,(cost|oPP率为；倾斜角为。tan)0(（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不
5、同时为零） ；反之，0CByAxBA,任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为 0 才能确定。CBA,指出此时直线的方向向量：， ),(AB ),(AB),( 2222BAABAB（单位向量） ；直线的法向量：；（与直线垂直的向量）),(BA三、两直线的位置关系：位置关系 222111: bxkylbxkyl 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl平行，且21kk 21bb 212121 CC BB AA重合，且21kk 21bb 212121 CC BB AA相交21kk 2121
6、BB AA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：或；当或222111: bxkylbxkyl 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl21kk 时它们相交，交点坐标为方程组或解；1221BABA 2211bxkybxky 00222111CyBxACyBxA注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211BABA对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211BABA若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一
7、直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用02121BBAA起来更方便斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是1l2l1l2l； 0注意：注意：到到的角与的角与到到的角是不一样的的角是不一样的；旋转的方向是旋转的方向是逆时针方向逆时针方向；绕绕“定点定点”是指是指两直线两直线1l2l2l1l的交点的交点。（2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范1l2l1
8、l2l围是； 20（3）设两直线方程分别为： 或 222111: bxkylbxkyl 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl若若为为到到的角的角，或；1l2l1212 1tankkkk 21211221tanBBAABABA 若若为为和和的夹角的夹角，则或；1l2l1212 1tankkkk 21211221tanBBAABABA 当或时，；0121kk02121BBAAo90注意：上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一当有一k条直线斜率不存在时，用数形结合法处理条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。直线到的角与和的夹角：或；1l2l1l2l)2
9、()2(五、点到直线的距离公式：五、点到直线的距离公式：设点和直线，点到 的距离为：；),(00yxP0:CByAxlPl2200|BACByAxd 两平行线，的距离为：2221|BACCd ；0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl六、直线系：六、直线系：（1）设直线，经过的交点的直线方程为0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl21,ll（除去） ；0)(222111CyBxACyBxA2l如：，即也就是过与的交点除去 的011kxykxy01y0x) 1 , 0(0x直线方程。直线恒过一个定点 。5) 12() 1( :mymxml注意：推广到过曲线与的交点的方程为：；0
10、),(1yxf0),(2yxf0)()(21xfxf（2 2）与）与平行的直线为平行的直线为；0:CByAxl0CByAx（3 3）与）与垂直的直线为垂直的直线为；0:CByAxl0CAyBx七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于关于的对称点的对称点),(baA),(dcC)2 ,2(bdac直线关于点的对称：直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标
11、，再由两点式求出直线方程；出直线方程；、求出一个对称点，在利用、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；由点斜式得出直线方程；21/ll、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。0632:1 yxl) 1, 1 ( P2l（2）轴对称：点关于直线对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公、求出过该点与已知直
12、线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。式求解。如：求点关于直线对称的坐标。)5 , 3(A0443:yxl直线关于直线对称：（设直线关于直线对称：（设关于关于 对称）对称）ba,l、若、若相交，则相交，则到到 的角等于的角等于到到 的角；若的角；若，则，则，且，且与与 的距离相等。的距离相等。ba,alblla/lb/ba,l、求出、求出上两个点上两个点关于关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程。的对称点，在由两点式求出直线的方程。aBA,l、设、设为所求直线直线上的任意一点，则为所求直线直线上的任意一点，则关于关于 的对称点的对称点的坐标适合的坐标适合的方程
13、。的方程。),(yxPPlPa如：求直线关于对称的直线的方程。042: yxa0143:yxlb八、简单的线性规划：（1）设点和直线， 若点在直线 上，则；),(00yxP0:CByAxlPl000CByAx若点在直线 的上方，则；若点在直线 的下方，则Pl0)(00CByAxBPl；0)(00CByAxB（2 2）二元一次不等式表示平面区域：）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式对于任意的二元一次不等式，)0(0 CByAx当当时，则时，则表示表示直线直线上方的区域上方的区域；0B0CByAx0:CByAxl表示表示直线直线下方的区域下方的区域；0CByAx0:CByAxl当
14、当时，则时，则表示表示直线直线下方的区域下方的区域；0B0CByAx0:CByAxl表示表示直线直线上方的区域上方的区域；0CByAx0:CByAxl注意：通常情况下将原点注意：通常情况下将原点代入直线代入直线中，根据中，根据或或来表示二元一次不等来表示二元一次不等)0 , 0(CByAx00式表示平面区域。式表示平面区域。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许),(yx多问题都可以归结为线性规划问题。注意：注意：当当时，将直线时，将直线向上平移，则向上平移，则的值的值越来越大越来越大； 0B0 ByAxByAxz直线直线向下平移，则向下平移，则的值的值越来越小越来越小；0 ByAxByAxz当当时，将直线时，将直线向上平移，则向上平移，则的值的值越来越小越来越小； 0B0 ByAxByAxz直线直线向下平移，则向下平移，则的值的值越来越大越来越大；0 ByAxByAxz如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界） ，目标函数取得最小值的最优解有无数个，则ayxz为 ；a圆部分圆部分一、曲线和方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了：C0),(yxf曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）以
