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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷（非选择题）两部分第卷卷 1 至至 2 页第页第卷卷 3 至至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第卷卷注意事项：注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准
2、考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 3本卷共本卷共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式AB，()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么 其中表示球的半
3、径AB，R球的体积公式()( )( )P A BP A P Bgg如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 Ap343VR次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR( )(1)(012)kkn k nnP kC ppkn ， ，一、选择题一、选择题（1）是第四象限角，则（ ）5tan12 sinABCD1 51 55 135 13（2）设是实数，且是实数，则（ ）a1 i 1 i2aa ABCD1 213 22（3）已知向量，则与（ ）( 5 6) ，a(6 5)，babA垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（ ）2(
4、 4 0) ，(4 0)，ABCD22 1412xy22 1124xy22 1106xy22 1610xy（5）设，集合，则（ ）abR，10bababa，baABCD1122（6）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表10xy 2 21010xyxy ，示的平面区域内的点是（ ）ABCD(11)，( 11) ，( 11)，(11)，（7）如图，正四棱柱中，则异面直1111ABCDABC D12AAAB线与所成角的余弦值为（ ）1AB1ADABCD1 52 53 54 5（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ 1a ( )logaf xx2a a，1 2a ）ABCD222
5、24（9），是定义在上的函数，则“，均为( )f x( )g xR( )( )( )h xf xg x( )f x( )g x偶函数”是“为偶函数”的（ ）( )h xA充要条件B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件D既不充分也不必要的条件（10）的展开式中，常数项为，则（ ）21n xx15n ABCD3456（11）抛物线的焦点为，准线为 ，经过且斜率为的直线与抛物线在24yxFlF3轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是（ ）xAAKlKAKFABCD43 34 38（12）函数的一个单调增区间是（ ）22( )cos2cos2xf xxABCD2 33，6 2 ，03，6 6 ，
6、第第卷卷注意事项：注意事项：AB1B1A1D1CCD1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第第卷共卷共 2 页，请用直径页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，在试题卷上作答无效答，在试题卷上作答无效 3本卷共本卷共 10 题，共题，共 90 分分 二、填空题：本大题共二
7、、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在横线上分把答案填在横线上 （13）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其 中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种 （用数字作答）（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则( )yf x3log(0)yx xyx( )f x （15）等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比 nannS1S22S33S na为 （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底 面边长为 2，则该三角形的斜边长为 三、解答题：本大题共三、
8、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 10 分）设锐角三角形的内角的对边分别为，ABCABC，abc，2 sinabA （）求的大小；B（）求的取值范围cossinAC （18） （本小题满分 12 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元表示经销一件该商品的利
9、润（）求事件：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率；A( )P A（）求的分布列及期望E（19） （本小题满分 12 分）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知SABCDABCDSBC ABCD，45ABC o2AB 2 2BC 3SASB（）证明；SABC （）求直线与平面所成角的大小SDSABDBCAS（20） （本小题满分 12 分）设函数( )eexxf x（）证明：的导数；( )f x( )2fx（）若对所有都有，求的取值范围0x( )f xaxa（21） （本小题满分 12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过22 132xy1
10、F2F1FBD，的直线交椭圆于两点，且，垂足为2FAC，ACBDP（）设点的坐标为，证明：；P00()xy，22 00132xy（）求四边形的面积的最小值ABCD （22） （本小题满分 12 分）已知数列中， na12a 1( 21)(2)nnaa12 3n ，（）求的通项公式； na（）若数列中， nb12b 134 23n n nbbb12 3n ，证明：，432nnba12 3n ，2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修理科数学试题（必修+选修选修）参考答案）参考答案一、选择题：一、选择题： （1）D（2）B（3）A（4）A（5）C（6
11、）C （7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A 二、填空题：二、填空题：（13）（14）（15）（16）363 ()xxR1 32 3三、解答题：三、解答题： （17）解：（）由，根据正弦定理得，所以，2 sinabAsin2sinsinABA1sin2B 由为锐角三角形得ABC 6B （）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A由为锐角三角形知，ABC，22AB2263B，2 336A所以13sin232A由此有，333sin3232A所以，的取值范围为cossinAC3 3 22 ，（18）解： （）由表示事件“购买该商品
12、的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” A知表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”A，2( )(1 0.4)0.216P A ( )1( )1 0.2160.784P AP A （）的可能取值为元，元，元200250300，(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP(300)1(200)(250)1 0.40.40.2PPP 的分布列为 200250300 P0.40.40.2200 0.4250 0.4300 0.2E（元） 240 （19）解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面SOBCOAOSBCABCDSO ABCD
13、因为，所以，SASBAOBO又，故为等腰直角三角形，45ABC oAOBAOBO由三垂线定理，得SABC （）由（）知，依题设，SABCADBC故，由，得SAAD2 2ADBC3SA 2AO ，1SO 11SD 的面积SAB2 2 111222SABSAABg连结，得的面积DBDAB21sin13522SAB ADog设到平面的距离为，由于，得DSABhD SABSABDVV，1211 33h SSO Sgg解得2h ODBCAS设与平面所成角为，则SDSAB222sin1111h SD所以，直线与平面所成的我为SDSBC22arcsin11解法二：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面SO
14、BCOAOSBCABCDSO ABCD因为，所以SASBAOBO又，为等腰直角三角形，45ABC oAOBAOOB如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，OOAxOxyz，( 2 0 0)A，(02 0)B ，(02 0)C，(0 01)S，( 2 01)SA uu r，所以(0 2 2 0)CB uu u r，0SA CB uu r uu u rgSABC（）取中点，ABE22022E ，连结，取中点，连结，SESEGOG22 1 442G ，22 1 442OG，22122SE，(22 0)AB ，与平面内两条相交直线，垂直0SE OG g0AB OG gOGSABSEAB所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则OG SABOGDSSDSAB与互余，( 2 2 2 0)D，(2 2 21)DS
