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1、理解等比数列的概念/掌握等比数列的通项公式/掌握等比数列的前n项和公式第13课时 等比数列1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项项起，每一项项与它的前一项项的比等于 常数，那么这这个数列就叫做等比数列这这个常数叫做等比数列的 ；公比通常用字母q表示(q0)，即： q(n2，nN)2等比数列的通项公式：ana1qn1；anamqnm(a1q0)提示：等比数列从定义义到通项项公式的推导导和形式都可以看作是等差数列的运算升级级3等比中项：如果在a与b中间间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这这个数G为为a与b的等比中项项同一个公比4等比数列的前n项和公式提示：等比数列的前n项项和公式的推
2、导导使用的是“错错位相减法”，在使用公式时时要判断公比q1，或q1.思考：是否存在既是等差又是等比数列的数列？答案：存在，可以证证明既是等差又是等比数列的数列一定是非零常数列1关于数列：3,9，2 187，以下结论结论 正确的是( )A此数列不是等差数列，也不是等比数列B此数列可能是等差数列，但不是等比数列C此数列不是等差数列，但可能是等比数列D此数列可能是等差数列，也可能是等比数列解析：由前2项可设通项an6n3和an3n，代入检验即可答案：D2“b ”是“a、b、c成等比数列”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：D3已知等比数列an中，a3 ，
3、S3 ，则则q_.即2q2q10.整理得(2q1)(q1)0，q 或q1.答案： 或14等比数列an的前n项项和为为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则则an的公比为为_解析：根据已知条件4S2S13S3，即4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，整理得：3q2q0，又q0.q .答案：1. 对于等比数列的有关计计算问题问题 ，可类类比等差数列问题进问题进 行，在解方程组组的过过程中要注意“相除”消元的方法，同时时要注意整体代入(换换元)思想方法的应应用2在涉及等比数列前n项项和公式时时要注意对对公比q是否等于1的判断和讨论讨论 【例1】设等比数列an的前n项和为Sn，已知S41
4、，S817，求an的通项公式解答：解法一：在等比数列an中，由S41，S817，则则q1，因此得q4117，则则q416，q2，或q2，由q2代入得a1 ，由q2代入得a1 ，所以数列an的通项项公式为为an 2n1或an( )(2)n1.解法二：q4 16，则则q2，或q2.又S41，当q2时时，由a1(1qq2q3)1得：a1 ，因此ana1qn1 ；当q2时时，由a1(1qq2q3)1得：a1 .因此ana1qn1 变式1. 已知an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列(1)求q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2 时，比较Sn与bn
5、的大小，并说明理由解答：(1)an是公比为为q的等比数列，2a3a1a2，即2a1q2a1a1q，则则2q2q10，即(2q1)(q1)0，因此q1或q .(2)当q1时时，bn2(n1)n1.Snb1b2bn 当n2时时，Snbn；当n10时时，Snbn；当2n9时时，Snbn；当n11时时，Snbn.1. 对于等比数列的相关证证明可类类比等差数列的有关问题问题 2要证证一个数列不构成等比，只需证证明存在m、nN*(mn)，使得即可【例2】(1)已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1Pcn为为等比数列，求常数P；(2)设设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证证明：数列
6、cn不是等比数列解答：(1)因为为cn1Pcn是等比数列，故有(cn1Pcn)2(cn2Pcn 1)(cnPcn1)，将cn2n3n代入上式，得2n13n1P(2n3n)22n23n2P(2n13n1)2n3nP(2n13n1)，即(2P)2n(3P)3n2(2P)2n1(3P)3n1(2P)2n1(3P)3n1，整理得， (2P)(3P)2n3n0，解得，P2或P3.(2)证证明：设an，bn的公比分别为别为 p，q，pq，cnanbn，为证为证 cn不是等比数列只需证证cc1c3，事实实上，c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2
7、a1b1(p2q2)由于pq，p2q22pq，又a1，b1均不为为零，因此cc1c3，故cn不是等比数列.对对于递递推关系形如 的求数列通项项公式问题问题 ，可利用待定系数法an1c(an)，求出 ，转转化为为等比数列解决 【例3】已知在数列an中a11，求满足下列条件的数列an的前n项和Sn.(1)an13an2；(2)an1an2n1.解答：(1)由an13(an)与an13an2，比较较可得1，an113(an1)，即 3，即an1构成以a11为为首项项，公比为为3的等比数列an1(a11)3n1，an23n11，Sn2 n3nn1.(2)由已知anan12n即anan12n，an(an
8、an1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12n2221 12n13，Sn 3n2n23n4.等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点1确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q.2在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”3等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和【方法规律】4在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是
9、：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列(本题满分12分)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1，2，)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2 an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.解答：(1)当n1时时，a1S10，若q1，则则Snna10.若q1，则则Sn 0，即 0.等价于解得1q1或q1且q0.因此满满足条件q的范围围是(1,0)(0，).6分【答题模板 】(2)bnan2 an1(q2 q)an，Tnb1b2bn(q2 q)(a1a2an)(q2 q)Sn，TnSn(q2 q1)Sn(q )(q2)Sn当1q ，或q2时时，TnSn；当q ，或q2时时，TnSn；当 q0或0q2时时，TnSn.12分 1. 第(1)问是解决不等式Sn0(nN*)恒成立，求q的范围，如果使用等比数列的前n项和公式要对q1，q1进行讨论，既便是能解决对公比q的讨论问题，解不等式组 也会给考生带来不小的困难事实上可证明在等比数列中，前n项和Sn0(nN*)的充要条件是借此结论可很好地简化第一问的解题过程2用Sn直接表示Tn，而不涉及等比数列前n项和Sn的具体表示，是解决第(2)问的最好选择，这样最大限度地避免了对公比q的大面积讨论. 【分析点评】点击此处进入 作业手册
