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1、应用数学专业优秀论文应用数学专业优秀论文 孤子方程族的可积耦合系统和分数阶孤子方程族的可积耦合系统和分数阶HamiltonianHamiltonian 结构结构关键词：孤子方程关键词：孤子方程 可积系统可积系统 精确解精确解 非线性发展方程非线性发展方程 LaxLax 可积耦合可积耦合 可积耦合可积耦合 系统系统 HamiltonianHamiltonian 结构结构 离散孤子方程离散孤子方程 LiouvilleLiouville 可积性可积性摘要：本文研究的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦 合系统的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了 连续和离散方
2、程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成 及 Hamiltonian 结构，Liouville 可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子 方程的分数阶 Hamiltonian 结构。其具体内容为： 第一章介绍了孤立子理 论，可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现 状，同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。 第二章简要的介绍了 Kac-Moody 代数，Hamiltonian 函数的概念及相关的性质详细的阐述和介绍 了 AC = BD 理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵 Lax 可积方程族，
3、并获得它的 Hamiltonian 结构另外从 Lax 对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新 的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系 列的多分量可积耦合方程族但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的 Hamiltonian 结构(尤其是多分量可积耦合方程族的 Hamiltonian 结构)，针对 此问题，文中给出广义的 killing 内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了 多分量耦合系统的 Hamiltonian 结构。其中给出了多分量 Jaulent-Miodek 方 程族，多分量 2+1 维 GJ 方程族和耦合 Dirac 方程族的 Hamiltonia
4、n 结构。 另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的 R-矩阵。其中以 AKNS 族为例，得到了耦合 AKNS 方程族的 R-矩阵。 第四章从 loop 代数 Alt;,1gt;的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形 Lax 可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还 提出了 2+1 维非等谱离散可积耦合形式，利用谱参数 满足的非等谱条件， 得到了 Blaszak-Marciniak 晶格方程的耦合系统。国际著名杂志Physics Letters A的编委 A.R. Bishop 对此种方法给出了很好的评价“The method gives two k
5、inds of classification to a soliton equation，it is an interesting and important work” 。另外，进一步考虑了离散系统 Darboux 变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对 势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机软件通过比较算子的系 数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成 AKNS 方程这样做 不仅可以建立离散与连续方程之间的关系，更重要的是可以通过连续型方程的 精确解(解析解)获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的 数值解。 第五章在整数情形
6、可积系统的基础上，进一步考虑分数形的 Hamiltonian 结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间 和分数形式的 Hamiltonian 形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到 分数情形，建立一套分数阶 Hamiltonian 结构和可积系统。我们已经完成了分 数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的 AKNS 方程和 C-KdV 方程，并且 给出了它们简单形式的 Hamiltonian 函数。另外利用 Riemann-Liouville 分数阶算子和分数形式的 Possion 括号，把 Hamiltonian 结构的辛形式推广到 分数阶情形。正文内容正文内容本文研究
7、的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦合 系统的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连 续和离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成及 Hamiltonian 结构，Liouville 可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方 程的分数阶 Hamiltonian 结构。其具体内容为： 第一章介绍了孤立子理论， 可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现状， 同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。 第二章简要的介绍了 Kac- Moody 代数，Hamiltonian 函数的概念及相关的性质详细的阐述和介绍了
8、AC = BD 理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。 第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵 Lax 可积方程族，并获得它的 Hamiltonian 结构另外从 Lax 对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新 的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系 列的多分量可积耦合方程族但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的 Hamiltonian 结构(尤其是多分量可积耦合方程族的 Hamiltonian 结构)，针对 此问题，文中给出广义的 killing 内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了 多分量耦合系统的 Hamiltonian 结构。其
9、中给出了多分量 Jaulent-Miodek 方 程族，多分量 2+1 维 GJ 方程族和耦合 Dirac 方程族的 Hamiltonian 结构。 另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的 R-矩阵。其中以 AKNS 族为例，得到了耦合 AKNS 方程族的 R-矩阵。 第四章从 loop 代数 Alt;,1gt;的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形 Lax 可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还 提出了 2+1 维非等谱离散可积耦合形式，利用谱参数 满足的非等谱条件， 得到了 Blaszak-Marciniak 晶格方程的耦合系统。国际著名杂志
10、Physics Letters A的编委 A.R. Bishop 对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，it is an interesting and important work” 。另外，进一步考虑了离散系统 Darboux 变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对 势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机软件通过比较算子的系 数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成 AKNS 方程这样做 不仅可以建立离散与连续方程之间
11、的关系，更重要的是可以通过连续型方程的 精确解(解析解)获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的 数值解。 第五章在整数情形可积系统的基础上，进一步考虑分数形的 Hamiltonian 结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间 和分数形式的 Hamiltonian 形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到 分数情形，建立一套分数阶 Hamiltonian 结构和可积系统。我们已经完成了分 数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的 AKNS 方程和 C-KdV 方程，并且 给出了它们简单形式的 Hamiltonian 函数。另外利用 Riemann-Liouvi
12、lle 分 数阶算子和分数形式的 Possion 括号，把 Hamiltonian 结构的辛形式推广到 分数阶情形。 本文研究的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦合系统 的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连续和 离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成及 Hamiltonian 结构，Liouville 可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方 程的分数阶 Hamiltonian 结构。其具体内容为： 第一章介绍了孤立子理论， 可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现状， 同时介绍了国内外学者在这方面取
13、得的成果。 第二章简要的介绍了 Kac- Moody 代数，Hamiltonian 函数的概念及相关的性质详细的阐述和介绍了 AC = BD 理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。 第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵 Lax 可积方程族，并获得它的 Hamiltonian 结构另外从 Lax 对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新 的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系 列的多分量可积耦合方程族但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的 Hamiltonian 结构(尤其是多分量可积耦合方程族的 Hamiltonian 结构)，针对 此问
14、题，文中给出广义的 killing 内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了 多分量耦合系统的 Hamiltonian 结构。其中给出了多分量 Jaulent-Miodek 方 程族，多分量 2+1 维 GJ 方程族和耦合 Dirac 方程族的 Hamiltonian 结构。 另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的 R-矩阵。其中以 AKNS 族为例，得到了耦合 AKNS 方程族的 R-矩阵。 第四章从 loop 代数 Alt;,1gt;的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形 Lax 可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还 提出了 2+1 维非等谱
15、离散可积耦合形式，利用谱参数 满足的非等谱条件， 得到了 Blaszak-Marciniak 晶格方程的耦合系统。国际著名杂志Physics Letters A的编委 A.R. Bishop 对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，it is an interesting and important work” 。另外，进一步考虑了离散系统 Darboux 变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对 势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机
16、软件通过比较算子的系 数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成 AKNS 方程这样做 不仅可以建立离散与连续方程之间的关系，更重要的是可以通过连续型方程的 精确解(解析解)获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的 数值解。 第五章在整数情形可积系统的基础上，进一步考虑分数形的 Hamiltonian 结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间 和分数形式的 Hamiltonian 形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到 分数情形，建立一套分数阶 Hamiltonian 结构和可积系统。我们已经完成了分 数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的 AKNS 方程和 C-KdV 方程，并且 给出了它们简单形式的 Hamiltonian 函数。另外利用 Riemann-Liouville 分 数阶算子和分数形式的 Possion 括号，把 Hamiltonian
