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1、6.1 投入产出模型6.2 CT技术的图像重建6.3 原子弹爆炸的能量估计6.4 市场经济中的蛛网模型6.5 减肥计划节食与运动6.6 按年龄分组的种群增长第六章 代数方程与差分方程模型 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系， 每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入 ）变为自己的产品（产出）. 根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部 门的产出水平以满足社会的需求 . 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合 ，应用领域不断扩大 .6.1 投入产出模型 背景建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用. 投入产出表 国民经济各
2、部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 产产出 投入农业农业工业业建筑 业业运输输 邮电邮电批零 餐饮饮其他 服务务外部 需求总产总产 出农业农业464788229131271312842918 工业业499860514444035571223408316814 建筑业业593202312426912875 运输邮电输邮电62527128163671464771570批零餐饮饮79749140431302739272341其他服务务146128527222521954227255414初始投入1663485165970312183093 总总投入291816814287515702341541
3、4中国2002年投入产出表（产值单位：亿元） 直接消耗系数表 产产出 投入农业农业工业业建筑业业运输邮输邮 电电批零餐饮饮其他服务务农业农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002 工业业0.1710.5120.5020.2570.2380.226 建筑业业0.0020.0010.0010.0130.0100.023 运输邮电输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐饮饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服务务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国2
4、002年直接消耗系数表 由投入产出表直接得到 农业每1亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品 直接消耗0.171亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系投入产出的数学模型 xi第i部门的总产出di对第i部门的外部需求xij第i部门对第j部门的投入aij直接消耗系数第j部门门单位产出 对第i部门的直接消耗 xij第j部门总产门总产 出对对第i部门的直接消耗每个部门的总产出等于总投入 xj第j部门的总投入 设设共有n个部门技术水平没有明显提高模型应用 假设直接消耗系数不变问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮 电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500, 4200, 3000
5、, 500, 950, 3000亿元, 问这6个部门的总产 出分别应为多少？d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系数表给出6个部门的总产出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）.求解模型应用 总产总产 出对对外部需求线线性dd增加1个单单位 x的增量若农业的外部需求增加1单位 x为 的第1列 6个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624， 0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位. 问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？求解其余
6、外部需求增加1单位 x为 的其余各列 6.2 CT技术的图像重建 CT(计算机断层成像 )技术是20世纪50至70年代由 美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的. 1971年第一代供临床应用的CT设备问世. 螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用. CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测 等领域也得到了广泛的应用. 背景什么是CT，它与传统的X射线成像有什么区别？ 光源 人眼光源 人眼一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球 概念图示 单方向观察无法确定 球的数目和透明度 让物体旋转从多角度观察能 分辨出5个球及各自的透明度 人体内脏胶 片 传统的X射线成像原理 CT技术原理 探 测
7、器 X 射 线X 光 管人体内脏CT技术: 在不同深度的断面上,从各个角度用探测测器接 收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线;经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建. 图像 重建 X射线强度衰减与图像重建的数学原理 射线强度的衰减 率与强度成正比. I射线强度 l物质在射线方向的厚度 物质对射线的衰减系数 I0入射强度 射线沿直线L穿行, 穿过由 不同衰减系数的物质组成的 非均匀物体(人体器官).I0L0yx(x, y)X射线强度衰减与图像重建的数学原理 右端数值可从CT 的测量数据得到 多条直线L的线积分 被积函数(x, y) FQ(q)与Q相距q的直线线L的线积线积 分Pf
8、(L)对对所有q的平均值值 拉东变换 拉东逆变换 图像 重建反映人体器官大小、形状、密度的图像 数学 原理实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分). 图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个 领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件. 图像重建的代数模型 lj每个像素对射线的衰减系数是常数 m个像素(j=1, m), n束射线(i=1,n) Li的强度测测量数据 j像素j的衰减系数 lj射线线在像素j中的穿行长长度 J(Li)射线线Li穿过过的像素j的集合 像素j 射线LijLilij图像重建的代数模型 常用算法 设像素的边长和射线的宽度均为 中心线法 aij射线线Li的中心线线在像素j
9、内的 长长度lij与之比.面积法 aij射线线Li的中心线线在像素j内的面积积sij与之比.sij中心法 aij=1射线线Li经过经过 像素j的中心点.图像重建的代数模型 中心法的简化形式 假定射线的宽度为零, 间距 aij=1 Li经过经过 像素j内任一点987654321L4L8L7L6L5L3L2L1根据A和b, 由 确定像素的衰减系数向量x m和n很大且m n, 方程有无穷多解 + 测量误差和噪声 在x和e满满足的最优准则下估计x 代数重建技术(ART)6.3 原子弹爆炸的能量估计1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界!当时资料是保
10、密的, 无法准确估计爆炸的威力 . 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2千吨. 后来公布爆炸实际 释放的能量21千吨 t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m) 0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.0 0.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.0 0.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.0
11、0.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量： 时刻t 所对应的“蘑菇云”的半径r原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播, 爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远. 冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来. 泰勒用量纲分析方法建立数学模型, 辅以小型试验, 又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物 理 量 的 量 纲长度 l 的量纲记 L=l 质量 m的量纲记 M=m 时间 t 的量纲记 T=t动力学中 基本量纲L, M, T速度 v 的量纲 v=LT-1导出量纲加速度 a 的量纲 a=LT-2 力 f 的量纲 f=LM
12、T-2引力常数 k 的量纲 k对无量纲量，=1(=L0M0T0)量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则, 确定各物理量之间的关系. 量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期 t 的表达式 设物理量 t, m, l, g 之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式与 对比对 x,y,z的两组量测值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )为什么假设这种形式?设p= f(x,y,
13、z)x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍p= f(x,y,z)的形式为量纲齐 次原则单摆运动单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式y1y4 为待定常数, 为无量纲量基本解设 f(q1, q2, , qm) = 0 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定.Pi定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是 基本量纲, nm, q1, q2, qm 的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有 m-r 个基本解，记作为m-r 个
14、相互独立的无量纲量, 且则记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻 t 球的半径为 rt, E空气密度, 大气压强P基本量纲：L, M, T 原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 r与哪些因素有关？r t E P LMT量纲矩阵 y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 有2个基本解两个无 量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算时间 t 非常短 能量 E 非常大 泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议用r, t 的实际数据做平均空气密度 =1.25 (kg/m3) 1千吨(TNT能量) = 4.184*101
15、2焦尔 E=19.7957 (千吨)E=8.28251013(焦耳)实际值21千吨 泰勒的计算tr 最小二乘法拟合 r=atbE=8.02761013 (焦耳)即19.2千吨 取y平均值得c=6.9038 模型检验b=0.40582/5量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n; 选哪些基本量纲.有目的地构造 Ay=0 的基本解. 方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.物理模拟示例：波浪对航船的阻力航船阻力 f航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g .量纲分析在物理模拟中的应用 物理模拟: 按照一定的比例尺寸构造它的物理模型, 通过对模型的研究得出原型的结果.量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸的确定. 物理模拟示例：波浪对航船的阻力定理 原型船模型船模型船的 均已知 当原型船的 给定后计算 f物理 模拟物理模拟示例：波浪对航船的阻力原 型 船模 型 船模拟 条件量测模型船阻力f，可计算 f.按一定尺寸比例建造 模型船, 并调节船速
