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1、4、证明两条直线互相垂直 证明两条直线垂直的常用定理：（1）两直线相交成直角，则两直线垂直.（2）邻补角的两角的平分线互相垂直.（3）在同一三角形中，有两角互余，则第三角必是直 角.（4）等腰三角形三线合一.（5）圆的切线垂直于过切点的半径.（6）勾股定理逆定理.（7）平分弦（非直径）的直径垂直于弦.（8）菱形的对角线互相垂直.证明两条直线垂直的常用方法：（1）利用垂直的定义证明 例1 已知C是线段AB上的一点， AD/BE,AD=AC,BE=BC.求证： DCCEACBED123欲证两直线垂直，可证两直线相交成直角.（2）利用补角的两角平分线互相垂直证明 例2 （同例1）ACBED1234G
2、欲证两直线垂直，可证这两直线分别为邻补角的平分线.（3）利用三角形内角和定理证明例3 已知在梯形ABCD中 AB/CD,AB+CD=BC,O是AD的中点 .求证：OBOC.ABCDOE1234欲证两直线互相垂直，可证同一三角形中的另两个角的和等于 这两条直线相交所成的角. （4）利用等腰三角形性质证明例4 四边形ABCD中，ABC= ADC 90，点M、N分别是对角线AC、BD 的中点.求证：MN BD.ABCDMN等腰三角形三线合一，欲证两直线互相垂直，如题设中有等腰 三角形（或隐含等腰三角形），常可通过等腰三角形三线合一 来证明.（5）利用特殊平行四边形性质证明 例5 在平行四边形ABCD
3、中，AB=2AD， AE=AD=DF，CE、BF分别交AB、CD于 G、H.求证：BHCG.ABCDEFGH123欲证两直线互相垂直，如果这两直线分别是四边形对角线所在 直线，常可证明这个四边形为菱形.（6）利用切线的性质证明 例6 已知AB是O的直径，CD切 O 于E，CA、DB都是 O的切线，AD 、BC相交于M，EM延长线交AB于 F.求证：EFABABOC EFDM1、遇到圆的切线，常想到切线的性质和切线长定理 2、欲证一直线垂直于另一直线，可证这条直线平行于垂直另一 直线的直线.5、证明线段的和差倍分证明线段和差倍分的常用定理（1）三角形中位线等于第三边的一半.（2）直角三角形斜边上
4、的中线等于斜边的一半.（3）直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半.（4）相似三角形对应边成比例，平行线分线段成比例.（5）三角形中线被重心分成2：1.（6）梯形中位线等于两底和的一半.证明线段的和差倍分的常用方法（1）直接利用定理证明例1 已知在ABC中，AB=AC， A=120，AB的垂直平分线分别 交BC、AB于点M、N求证： CM=2BM.ABCMN1D2欲证一线段是另一线段的两倍，如果条件中有直角三角形，常 想到直角三角形的性质.ABCMN1231、欲证一线段为另一线段的两倍，常可把较长线段分成两段 ，证明其分别等于另一条线段的长.2、条件中有一直线过一线 段中点时，常想到平行线
5、分线段成比例.（2）利用延短等长法证明例2 已知E是正方形ABCD的BC边上一 点，F是 DAE的平分线与CD的交点. 求证：AE=FD+BE.ABCDFEG12345欲证一线段等于两线段之和，常可作两短线段之和，证明其等 于较长线段.（3）利用代数方法推算例4 已知AB/CD,E、F分别为BC、AD的中点.求证：ABCDEFGH1、欲证一线段等于两线段之差，可设法先作出两线段之差.2、欲证一线段为另一线段的一半，常想到三角形的中位线的性质.6、证明角的和差倍分证明角的和差倍分常用定理：（1）三角形的外角等于它的两个不相邻的内角之和.（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.（3）一直角
6、三角形的斜边为短直角边的两倍，则短直角边 所对的角为另一锐角的一半.（4）菱形对角线平分一组对角.证明角的和差倍分举例例1 在ABC中，BC,AD是高 ，AT是 A的平分线.求证：TADABCDT123如果条件中有垂线，常隐含着直角三角形条件，而直角三角形 两锐角互余是证角的和差倍分时建立两角联系的常用桥梁.例2 已知MN/PQ,ACPQ,BD和AC交于E，且DE2AB.求证：ABDMNCPQGE1234题设中的平行线、垂线等都隐含着角与角的关系，要注意联想 ，找出角之间的关系.例3 已知A的平分线交BC于F， C的平分线交A的平分线于E. 求证：ABCDEFG欲证一角等于两角之和（或差）的一
7、半，常分别从不同的途径 找出这角与已知两角的关系，再用代数方法进行计算.7、证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差证明有关成比例线段常用的定理：（1）相似两三角形的对应边成比例.（2）平行于三角形一边的直线截其它两边（或延长线）所成 对应线段成比例.（3）在RtABC中，若A=90，ADBC，则AD2=BDCD； AB2=BDBC; AC2=CDBC.（4）勾股定理.（5）等底（等高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底 ）之比.（6）相似三角形面积之比等于相似比的平方.证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差的常用方法（1）利用相似三角形证明例1 已知在ABC中，AB=AC，点D、 E、F
8、分别在BC、AB、AC上， EDF= B.求证：BDCD=BECF.ABCEDF12 31、欲证两线段的积等于另两线段的积，常将等积式改写成比例式 ，证比例线段.而利用相似三角形证明比例线段是常用的方法.2、当四条线段恰好两两分布在以它们为边的两个三角形中时，欲 证它们成比例，应考虑证明这两个三角形相似.3、为确定哪两个三角形相似，常可用三点定形法进行观察.例2 已知在ABC中， A=90 ，内接正方形DEFG的边DE 与BC重合.求证：DE2=BDEC.ABCDEFG欲证一线段为另两线段的比例中项，常可通过相似三角形证明. 当用三点定形法确定两三角形有困难时，常利用线段的等量待换 来证明.
9、例3 已知AD是RtABC的斜边BC上的 高，E是CB延长线上的点，且 EAB= BAD.求证：BD：DC=AE2：EC2.AECBD在证明成比例线段时，如条件中有母子直角三角形，常想到射影 定理.例4 已知ABC中，D为BC上一点， AD=BD， ADC=80， C=60.求证 ：AC2-CD2=CDAD.ABCD较复杂的线段的平方或积的和差问题，往往是成比例线段问题 的发展，可以以相应的成比例线段为基础，进行必要的等量代 换. 2、利用平行线分线段成比例定理证明例5 已知F是平行四边形ABCD的边BC延 长线上一点，AF交BD于E，交DC于G. 求证：AE2=EFGEABCDEGF在证成比
10、例线段时，若条件中有平行线，常想到利用平行线分线 段成比例定理.若两线段之比不能和另两线段之比直接建立联系 ，常通过中间比进行过渡.例6 已知AD是ABC的中线，任一 直线CEF分别交AD、AB于E、F.求 证：ABCEFDG在证成比例线段时，如果条件中有三角形一边的中点，常想到 三角形中位线定理及逆定理.添适当的平行线是产生、转换比例 线段的重要方法.例7 已知四边形ABCD中， B= D =90 ，P是AC上一点，PE CB于 E，PF AD于F.求证：ABCDPFE欲证线段比的和（或差）等于常值，常把已知线段比转换成 在一条直线上的线段所组成的比，然后进行计算.而连接这一转 化的桥梁，往往是平行线或相似三角形.例8 已知ABC=120，BD是ABC的平分 线.求证：ABCDE12345（3）利用勾股定理证明例9 已知在ABC中，AB=AC， DE/BC,DE与AB、AC交于D、E. 求证：EB2CE2=BCDEABCDEMHK8、证明面积相等证明面积相等常用定理：（1）等底等高的两三角形（或平行四边形）面积相等.（2）等底（等高）的两个三角形的面积之比等于高（底）之 比.（3）相似三角形面积之比等于相似比的平方.（4）全等三角形的面积相等.
