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1、第四章 线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 线性性能的分析4-2.绘制根轨迹的基本法则 1绘制根轨迹的基本法则 2. 闭环极点的确定 法则1： 根轨迹的起点和终点。根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。1绘制根轨迹的基本法则当 nm 时，n-m条根轨迹终于开环传递函数的无穷 远零点（称为无限零点）。 法则2： 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有限极 点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。 法则3：根轨迹的渐近线当nm时，有n-m条根轨迹趋于处，必须确定这些轨迹的趋向才能较准确地绘制根轨迹。交点
2、为的一组渐近线趋向无穷远处：当 K*时，有n-m条根轨迹分支沿着实轴夹角为、 法则4：根轨迹在实轴上的分布 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些 线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。简记为简记为 “ “奇是偶不是奇是偶不是”。 法则5：根轨迹的分离点与分离角。 (1) 定义：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇 又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。 (2) 性质：a.分离点实质上就是特征方程重根的情况； c.若在实轴上两个相邻的开环极点（其中一个可 以是无限极点）之间的区域为根轨迹区间，则在这区 间内至少有一个分离点。若在实轴上两个相邻的开环零点（其中一个可 以是无限零点
3、）之间的区域为根轨迹区间，则在这区 间内至少有一个分离点。 b.因根轨迹对称于实轴，故分离点或位于实轴上 ，或以共轭的形式成对出现在复平面上。 (4-20)式中，zj为各开环零点的数值； pi为各开环极点的数值；分离点的坐标d 是下列方程的解：(3) 求解：图4-8 实轴上根轨迹的分离点 (4) 说说明：a.分离点方程有时可能是高阶方程，故求解时可用 试探法。另外，分离点方程的解，不一定都是分离点 ，要结合图逐个检验。 若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间内， 若为复分离点，则应满足2k的相角条件。分离角为：b. 若系统无开环有限零点，则方程为：c. 分离角：根轨迹的进入分离点的切线方向与
4、离开分 离点的切线方向之间的夹角，称为分离角。其中，l：为进入并立即离开分离点的根轨迹分支数; k=0,1,l-1。d. 判断分离角的简便方法：在分离点处，多条轨迹分 支的切线将360角平分。故只要知道其中一条，其余 几条不难画出。 图4-8 实轴上根轨迹的分离点 复平面上的分离点 -1j01-1-2-3例4-1.设系统结构如图，试绘制 其概略根轨迹。解：画出 s 面上的开环零点-1，极点（0，-2，-3）。 由法则4，实轴上 0，-1，-2，3 是根轨迹。 由法则2，该系统有三条根轨迹分支， 由法则1，根轨迹分别始于0，-2，-3；终於-1和两个 无限零点。 有两条渐近线：90-90交点坐标
5、为：d=-2.47-1j01-1-2-390-90由法则5，实轴区域-2,-3必有一个根轨迹的分离点d ，它满足下述分离点方程：所以分离点为：d -2.47该方程可化为 d34 d2 +5 d +3=0 其根为： -2.4656，-0.7672 j 0.7926按上述法则画出根轨迹图：例4-2.设单位反馈系统开环传递函数为： 试绘制闭环系统根轨迹。 解：在 s 平面上开环极点有两个：-1j，开环零点-2。 (1).实轴( -，-2为根轨迹。(2). 根轨迹有两条分支，始于-1+j和-1-j终於-2和。(3). 在( -，-2上有一分离点：即解得：，作出该系统的根轨迹如下图所示：-1j01-1-
6、2-2-1+j-1-jd=-3.4141-1-1从数学上可以证明出：由两个极点（实数极点或复 数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限 零点没有位于两个实数极点之间，当K*从0变到无穷时 ，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以 有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一 部分。法则6: 根轨迹的起始角与终止角：例4-3.设系统开环传递函数为：解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j开环极点为0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.51).实轴上-2.5, -)， 0, -1.5为根轨迹。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角 ，称为根轨迹的起始角，以pi标志
7、；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角，以 表示。-2-12).根轨迹有4条分支：始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5；终于-1.5，-，-2+j，-2-j；3). 无分离点；4). 确定起始角与终止角：-2-1p2z2p1z1z3p3p4s1在p2附近的根轨迹上取一 个试验点s1,由相角条件：当 s1趋向于p2 时，就成为p2 处的起始角p2，则：即起始角：(4-23)同样的方法，可以导出终止角的公式：(4-24)-1-21=108.59059 37 19 56.5 90 121 153 199 63.5 117 -2方法2：根轨迹与虚轴交点
8、说明该系统有部分根是纯虚 根 s=j ，因此，将 s=j代入 特征方程式，得到：法则7: 根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值和 可用 劳斯判据确定；也可令闭环特征方程中的s=j，然后 分别令其实部和虚部为零而求得。 方法1：利用劳斯判据求：若根轨迹与虚轴相交，则表示 闭环系统存在纯虚根，意味着K*的数值使闭环系统处于临 界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含K*的项为零， 即可确定根轨迹与虚轴交点出的K*值。则可得出实部和虚部方程组： 从方程组中解出就是根轨迹与虚轴交点坐 标，同时还可 以求出与此交点相应参数 K* 的临界 值Kc *。说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计
9、算表中必说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表中必 出现出现全零行全零行，由辅助方程确定交点，进而求得，由辅助方程确定交点，进而求得K*c 。 例4-4 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹。解: 根轨迹的起点、终点及分支数实轴上的根轨迹 实轴上的0至-3线段是根轨迹的一部分 。 系统统有4条根轨轨迹分支，它们们的起点为为开 环环极点(0, -3, -1j1)，终点为无穷远处。根轨迹的渐渐近线线渐近线与实轴的夹角分别为45 、 135，渐近线与实轴的交点为 a=-1.25。a-3 -2.5-11-0.5-1-1.5-2j 根轨迹的分离点 复数极点-1+j1的出射角用试
10、探法算出 d2.3。da-3-2.5-11-0.5-1-1.5-2j 根轨迹与虚轴的交点系统特征方程为方法二：令s=j，实部 和虚部分别为零，得令劳劳斯表s1行的首项为项为 0，得K*=8.16。根据s2行的 系数，得辅辅助方程： 代入K*并令s=j，解出交点坐标标=1.1.da-3-2.5-11-0.5-1-1.5-2j法则8: 根之和。系统的闭环特征方程在nm的一般情况下，可以有 不同形式的表示式中，si为闭环特征根。根据代数方程根与系数的关系，有： 当n-m2时，特征方程第二项系数与K*无关，无论 K*取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和 说明：当开环增益K的增大时，若
11、某些特征根在s平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。解：的根轨迹与虚轴相交时例已知系统试确定这种情况下的第三的两个闭环极点 闭环极点s3。根轨迹作图小结： (1) 规则要熟记，不要死记硬背，这些规则都是由 相角条件导出的，要记住两个基本条件：相角条件 和模值条件； (2) 作图要正规，绘制时，一定要标清s，轴，j 轴，且两坐标轴的分度要相同； (3)在各分支上，要写上起点K*=0，终点处K*=， 分离点，与虚轴交点，且在分支上要画上箭头. (4) 上述规则，确定的是根轨迹的主要特征或一些 特殊点，其余部分仍是近似画出，故画根轨迹时需 一定经验。2. 闭环极点的确定 当K*值满足幅值条件时，对
12、应的根轨迹上的点，就 是此时的闭环极点。 同样，利用幅值条件可确定根轨迹上任一点所对应 的K*值。有时已知一对主导共轭极点的阻尼比，要求确定闭环极点及其相应的开环增益。为此可先画出一条给定的线，根据它与复平面上 根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点;然后用幅值条件求相应的开环增益，并用试探法求出满足幅值条件的实数极点。 -1-2-30jK=1.06例1中，若给定一对主导极 点的阻尼比=0.5，在图中作60线可得它与根轨迹 的交点为 -0.33j0.58，根据幅值 条件，对应的开环增益为用试探法可以确定此时的另一个闭环极 点为s=-2.33，由于m=0,n=4,所以模值条件则：则系统的闭环传递函数为
13、第四章 线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 线性性能的分析4-3 广义根轨迹1. 参数根轨迹2. 附加开环零点的作用3. 零度根轨迹广义根轨迹：在控制系统为，除根轨迹增益K*为变化参数的根轨迹以外，其他情形下的根轨迹统称为广 义根轨迹。1. 参数根轨迹研究参数根轨迹的目的：分析参数变化对系统性能的 影响。 绘制参数根轨迹图基本原理:常规根轨迹方程： 定义：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为 参数根轨迹。在参数根轨迹中K*是固定的。 绘制参数根轨迹与常规根轨迹方法相同。只要在绘制 参数根轨迹前，引入等效单位反馈系统系统和等效传 递
14、函数概念。 参数根轨迹方程：其中，A为出K*以外，系统任意的变化参数；而P(s) 和Q(s)为两个与A无关的首一多项式。 (4-28)则可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为： (4-29)例4-6. 分别有-比例，-为比例积分，- 测速反馈控制 系统。试分析Ta对系统性性能的影响，比较与在=0.5 时的特点广义根轨迹应用举例：系统系统系统解：II、III系统开环传递函数相同： 但其闭环传递函数不同：作以Ta为参数的根轨迹，系统闭环特征方程为： 即 ：可以写成：令为等效开环传递函数，其等效开环零点为 0，等效开环极点为对于系统I，Ta=0，闭环极点就是 作根轨迹图如p161图4-17，为确
15、定0.5时的传递函 数，作0.5的射线，可得闭环极点为：解得Ta=0.8，因此由幅值条件：而系统仍为：例4-7 已知系统的开环传递函数为试绘制以时间常数 Ta 为可变参数的根轨迹。解 系统的特征方程是或用 去除等式两边得则有令系统特征方程的最高阶次是3，由规则一和规则二知 ，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹 的终点(T=)是等效开环传递函数的三个零点，即 z1=z2=0,z3=-1；由规则四知，实轴上的根轨迹是实轴上-1至-线段。由规则六可求出两个等效开环复数极点的起始角分别为 由规则七可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用s=j 代入特征方程得由此得到虚部方程和实部方程分别为解虚部方程得的合理值为 代入实部方程求得 秒，所以 为根轨 迹与虚轴的两个交点。例4-7系统的根轨迹图
