线性系统与线性空不变系统

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1、线性系统与线性空不变系统线性系统定义脉冲响应线性不变系统线性不变系统的传递函数线性不变系统的本征函数级联系统1 线性系统定义v若一个系统既具有叠加性又具有均匀性，则此系统 称为线性系统设v叠加性v均匀性也就是说，一个系统具有线性，是指 输入和输出之间应满足如下关系1 线性系统定义线性系统具有叠加性质：即系统对几个输入的线性组合的整体响应就等于各单个输入产生的响应的线性组合。1 线性系统定义利用线性系统的叠加性质，可以方便地求出系统对于任意复杂输入的响应。方法是：首先，我们把复杂的输入分解成许多更加基本的函数，即 “基元”函数的线性 组合。而基元函数的响应是较容易单独确定的。这些基元函数的响应再

2、经线性组合，就可以得到复杂输入所对应的输出，这是线性系统的最大好处。基元函数通常是指不能再分解的基本函数。在线性分析系统中，常用的基元函数有 函数、余弦函数、和复指数函数。1 线性系统定义0102031 线性系统定义2 脉冲响应以函数作为基元函数，研究输入与输出的关系利用函数的筛选性质，任何输入函数都可以分解为函数的线性组合这个积分可以看成是x,y平面上无穷多个不同位置（，）处的以权重为系数的线性叠加函数2 脉冲响应2 脉冲响应的意义是：输入平面上位于x =,y = 处的单位脉冲（点光源）通过系统后在输出平面上得到的分 布。所以它是脉冲响应或点扩散函数。对于给定的光学系统 ，点扩散函数一般与输

3、入 点脉冲的位置（, ）有关。令脉冲响应式（*）通常称为叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换LL2 脉冲响应为了更好地理解叠加积分的物理意义，我们以线性光学成像系统为例加以说明：显然，线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征。只要知道系统对位于输入 平面上所有可能的点上的脉冲的响应，就可以通过叠加积分而完全确定系统的输出 。另外，如果系统的输入和输出之间满足叠加积所描述的关系，就可以认为这是一个线性系统。2 脉冲响应显然，要做到这一点，是相当困难的。不过对于线性系统的一个重要子类线性不变系统，分析才变得十分简单。一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描

4、述这一成像系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的函数输入的脉冲响应。2 脉冲响应对于空间不变系统，其输入与输出的变换关系是不随输入空间 位置而变化的变的。其唯一的效应是输出发生同样的位移。若L则L3线性不变系统v一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系 统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉 冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相 应的位移，即v这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应 函数可表示为v脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐 标的相对间距v二维线性不变系统还

5、常常叫做空间不变（线性 ）系统 2线性不变系统v物理的空间不变线性系统，输入平面和输出平面常常 是不同的两个平面，需要建立两个坐标 v从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出 两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平 面和输出平面的坐标做归一化（不管两者是否表示同 一种物理量），使得从数值上有 和 脉冲响应函数变为3线性不变系统对于线性不变系统，叠加积分式：式中h(x,y)是坐标原点单位脉冲响应，它可以表征线性空 不变系统的性质。上式（*）积分称为卷积积分，其含义仍旧是指：把输入函 数f(x,y)分解为无穷多个函数的线性组合，每个脉冲都按其 位置加权，然后把系统对于每个脉冲的响应叠

6、加在一起就得 对于f(x,y)的整体响应。与（*）式不同的是，不论输入脉冲 位置如何，系统脉冲响应的函数的形式是相同的。因而系统 的作用可以用一个脉冲响应函数来表征。3线性不变系统变为说明：对于成像系统而言，物平面上一个点光源（ 函数），通过成像系统后得到一个弥散像点分布（h函数），这种弥散作用很像日晕、月晕现象。对于线性不变系统，由于像点的形状不随物点空间位置而变，所以又把这种特性称为等晕性。对于实际成像系统，一般不可能是严格的空不变系统，这是由于像差的大小与物点位置有关。然而绝大多数光学系统像差大小随时物点位置的变化是缓慢的，因此，即使是空间不变性不能在整个视场内成立，我们也可把视场分成若

7、干个区域，在每个区域内使空间不变性近似成立。这样划分的区域称为等晕区。对于每个等晕区都有各自的h。因此，对线性不变系统的讨论是具有普遍意义的。3线性不变系统4 线性不变系统的传递函数上式是输入和输出关系在空域表示，利用卷积定理，可以 得到频率的关系式。不变线性系统 的的传递函数输入 频谱输出 频谱系统的传递函数或频率响应它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么 样的变化。说明：对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法。一 是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函 数；二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者各自的频谱 函数的积。再对该积求逆傅里叶变换求得输出函数。4 线性不变系

8、统的传递函数从表面上看，后一种方法比前一种方法复杂，但实际情况并 非如此，这是因为利用傅里叶变换的性质和傅里叶变换对偶 表，常可以使得傅里叶变换、求积和求逆傅里叶变换这一运 算过程远比卷积运算方便。因此从频率域来考察线性平移不 变系统，不仅有重要的理论意义，而且有很高的实用价值。下面进一步来讨论传递函数的物理意义：前面我们把线性系统的输入函数f(x,y)分解成函数的线性组合，而对于线性不变系统，可以找到更为合适的基元函数，即复指数函数。逆傅里叶变换提供了对于输入函数进行分解的方法。4 线性不变系统的传递函数在光学中， 、 具有长度倒数的量纲，因此具有空间频率的 意义。 上式表明。空间信号f (

9、x,y)可以分解成具有不同空间频率、的基元函数expj2(x+ y的线性组合，F（ , ） d d 就是这一线性组合中对应基元函数的权重因子。这就是除了函数以外的第二种基元函数。这种分解法通常称为傅里叶分解。LL又因为4 线性不变系统的传递函数利用L上式表明，各基元复指数函数在通过线性不变系统后，仍然是 同频率的复指数函数。但是可能产生与频率有关的幅值变化和 相移，这些变化决定于系统的传递函数。因此传递函数又称为 频率响应，它描述了系统的频率域的特性。线性不变系统4 线性不变系统的传递函数传递 函数的意义v空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重 因子v输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入

10、函 数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在 把输入“传递”为输出过程中的作用，因而称为传 递函数v传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入 函数各种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作 用是改变这些基元成分的初位相v传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的 幅角称作位相传递函数4 线性不变系统的传递函数空间频率的两种意义v空间频率类似于时域函数的时间 频率，时间 倒数称作频 率，长度倒数称作空间频 率，即在单位长度内周期函数 变化的周数（单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等 ）v信息光学中有两种空间频 率，一种是对二维图象进行频谱 分析得到的图象频谱对应的空间频 率，这是一种空间强度

11、 分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，其大小是没 有限制的，可以是无穷大v另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空 间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播 方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上 的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm ）表示出的 意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴 的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数 。下章再详细讲这两者区别4 线性不变系统的传递函数5 线性不变系统的本征函数定义：如果函数 f (x,y)满足条件式中a为一复数，叫本征值，则称 f (x,y)为算符所表征的系统的也就是说，系统的

12、本征函数是一个特定的输入函数，相应的输 出函数等于输入函数与一复常数的乘积。由上面的讨论可知，复指数函数可以形式不变地通过线性不变 系统，因此，它正是线性不变系统的本征函数。在分析线性不变系统时，取复指数函数为基元函数是非常方 便的。L本征函数L工程光学中已经说明光波可以用 复指数函数表示，光学系统传播光波 的数学模型，就是这样一个用复指数 函数表示的光输入变为复指数函数表 示的光输出的不变线性系统5 线性不变系统的本征函数对于非相干处理系统，系统对光强是线性的，这种系统可 以把一个实值输入变换成一个实值输出，也是一种常见的 系统，这类系统的传递函数是厄米的，即有：令振幅传递函数相位传递函数偶

13、函数奇函数5 线性不变系统的本征函数下面我们来证明余弦函数是这类系统的本征函数令为系统的传递函数， 输入函数为因为因此，输入频谱为输出频谱为5 线性不变系统的本征函数系统的输出函数为F -1因输入函数的频率是任意的，故上式可写成一般形式5 线性不变系统的本征函数L上式表明， u 对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入 将产生同频率的余弦输出。 u 同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决 定于传递函数的模和幅角。 u 非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空 间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。5 线性不变系统的本征函数v下图表示的是两个级联在一起的空间不变线性 系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入6 级联系统两个系统级联的传递函数v对于总的系统 和 分别是其输入 和输出，因为 v前式代入后式，并利用卷积的结合律，有v总的脉冲响应为v总的传递函数为 6 级联系统n个空间不变线性系统的级联vn个空间不变线性系统级联的情况，总的等效 系统的脉冲响应和传递函数分别为v用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到 振幅传递函数和位相传递函数的如下关系v级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是 各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂 系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说 光学链就是这种情况。 6 级联系统