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1、第四节 多元复合函数 与隐函数求导一、多元复合函数的求导法则二、隐函数的微分法一、多元复合函数的求导法则以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 设函数 ，而u，v又都是x，y的函数 于是是 和 复合而成的复合 函数，其中u和v为中间变量。 关于这个复合函数的导数我们有如下的定理：定理1：设函数 在点(x,y)处 有偏导数， 在相应的点(u,v)处有连续的偏导 数，则复合函数 在点(x,y) 处有偏导数，其满足：设自变量x有一改变量x,则则相应应地，u和v有改 变变量证明： 只证第一个公式，第二个可同理证明。函数 在相应点(u,v)处相应于x的全增量由于 有连续的偏导数，所以其中上式两边同除以
2、 得当 时，而这样，就有所以因而必有成立。同理可证多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。例1 设函数解：-对于具有三个中间变量的函数 u，v，w分别是x，y的函数，有其中解：令-例2 设函数-则所以-当然我们同理也可求得下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导： （1）则称之为全导数。 例3 设函数解：令-故 -（2）例4 设函数解：令（3）抽象函数的求导方法及记号例5 设连续偏导数，求-则于是解：-例6解：注意：上式中的 与 不是一个概念。例7 设求-解：-例8 设求解：-二、隐函数的微分法隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连 续的偏导数，且则方程
3、F（x,y）=0在点P0(x0,y0)的某一邻域内能够确 定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y）， 它满足条件y0=f(x0), 且有公式-证明：仅推导公式。由于方程F（x，y）=0满足定理中的条件，所 以它可以确定一个单值函数y=f(x,y)，这时有两边对x求导得再由已知条件有 -例9 求由方程 所确定的隐函数y=f(x) 的导数。-解： 设-则-所以- -隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具 有连续的偏导数，且则方程F（x,y,z）=0在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内 能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f （x,y,z），它满足条件z0=f(x0,y0),且有公式-证明：（略）例10 设-求解：设-则-所以- - -
