多元复合函数微分法

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1、高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学多元微积分学 大大 学学 数数 学学（三三）脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新 第五讲第五讲 多元复合函数微分法多元复合函数微分法主讲教师：彭亚新主讲教师：彭亚新第一章 多元函数微分学第五节 多元复合函数微分法熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。熟练掌握复合函数的链导法则。能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。了解全微分形式不变性。本节教学要求：请点击第五节 多元复合函数微分法一. 全 导 数三.全微分形式不变性二.链导法则多元函数经复合运算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复

2、合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.一.全导数下面看另一种解法.例解例解你能由此猜想到多你能由此猜想到多 元函数的复合函数求导元函数的复合函数求导 法则吗法则吗 ？+将例中的情形进行一般性的描述由此可推至一般的情况(全导数公式)定理+全导数公式图示全导数公式图示(全导数公式)现在证明定理定理从而由一元函数导数导定义, 取的极限:给 x 以增量, 相应地有证由可导, 故必连续, 从而时,定理获证 为什么取 绝对值 ?设, 求令则例解设以下函数满足定理的条件, 写出二元和三元函数的全导数公式:请同学自己写例开始对答案开始对答案你做对了吗 ?一般多元复合函数的求导法则一般多元复合函数的求导

3、法则二.链导法则假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面函数的导数：将 y 看成常数将 x 看成常数分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在 具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 从上面的作法可以看出, 将复合的多元函求函数偏导数.全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ?定理 设在点对应点可微, 则复合函数在点处可导, 且处均可导, 且在m 个 n 元函数一个 m 元函数一个 n 元函数定理 设在点对应点可微, 则复合函数在点处可导, 且处均可导, 且在m 个 n 元函数

4、一个 m 元函数一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸设满足定理的条件, 则有例设求例解设求例解设求令则关于 u 的 一元函数例解设求自己做例解设其中求令则例解设函数均可微, 求gg例解设函数均可微, 求gg例解记得吗? 一元函数的微分有一个重要性质：一阶微分形式不变性对函数不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有三.全微分形式不变性对二元函数来说,在可微的条件下, f 的全微分总可写为：不论 x 和 y 是自变量还是中间变量,详细的推导过程请同学自己看书.设不论是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有一般说来: 设应用全微分形式不变性求与比较, 得例解设应用全微分形式不变性求与比较, 得例解