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1、第二章 随机过程的概念与基本类型v随机过程的定义和统计描述v随机过程分布和数字特征v复随机过程v随机过程基本类型1概率论主要研究的对象是随机变量，即随 机试验的结果，可用一个或有限个随机变量描 述的随机现象。而有些随机现象仅用一个或有 限个随机变量描述是不够的，必须用无穷多个 随机变量来描述。一、随机过程是随机变量的推广2随机变量在每次试验的结果中，以一定的概率 取某个事先未知，但为确定的数值。在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中 随时间t而改变的随机变量。例如，接收机的噪声 电压，3此外，还包括生物群体的增长问题；电话交换机在一定时间段内的呼叫次数；一定时期内的天气预报；固定点处海平面
2、的垂直振动等等。4对接收机的输出噪声电压，作一次“长时 间的观察”，测量获得的噪声电压Xt是一个样 本函数56二、随机过程的定义781.通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态 上的类型区分随机过程的类型。三、随机过程的分类连续随机过程随机序列离散参数链参数集状态空间可数集区间离散随机过程连续型离散型9在时间和状态上都连续连续型随机过程10在时间上连续， 状态上离散离散型随机过程11在时间上离散， 状态上连续连续型随机序列12在时间上离散， 状态上离散离散参数链132.按概率特性分：独立增量过程、马尔科 夫过程、平稳过程、二阶矩过程等,以其分 布函数为依据，有正态过程，泊松过程等。1415
3、16172.2 随机过程的分布 一、有限维分布函数族对任一固定时刻，随机过程是一随机变量 ，这时可用研究随机变量的方法研究随机过程 的统计特性，但随机过程是一族随机变量，因 此，对随机过程的描述，需用有限维分布函数 族。有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族181920有限维分布函数的性质对称性相容性21有限维分布函数族对称性相容性Kolmogorov存在定理设已给参数集T及满足对称性和相容性条件 的分布函数族F，则必存在概率空间（,F,P） 及定义在其上的随机过程X(t),tT，它的有限 维分布函数族是F。22有限维特征函数族：23二、有限维联合分布数函数族有限维
4、联合分布函数族：24设X(t),tT是随机过程，如果对任意tT， EX(t)存在，则称函数为X(t)的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。一、均值函数2.3 随机过程的数字特征2526我们把随机变量（随机过程对应于某个固定t值）的二阶原点矩记作 称为随机过程 的均方值函数。（二）均方值与方差称为随机过程 的方差函数。而把 的二阶中心矩，是t的确定函数，它描述了随机过程的诸样本函数对数学期望 的偏离程度见图示。27是非负函数，它的平方根称为随机过程的均方差函数。即：28（三）自相关函数均值和方差刻划了随机过程在各个时刻的统计特性，但不能描述过程在不同时刻的相关关系，这点可从下图所示的两个随机
5、过程和 来说明，从直观上看，它们具有大致相同的均值和方差，但两者的内部结构却有非常明显的差别。 29具有相同均值函数和方差函数的两个不同的随机过程30而 的样本函数变化激烈，波动性大，其不同时刻的状态之间的联系不明显，且时刻间隔越大，联系越弱.其中 随时间变化缓慢，这个过程在两个不同时刻的状态之间有较强的相关性;因此，必须引入描述随机过程在不同时刻之间相关程度的数字特征。自相关函数（简称相关函数）就是用来描述随机过程两个不同时刻状态之间内在联系的重要数字特征。31称为随机过程X(t)的自相关函数，简称相关函数，我们把随机过程 在任意两个不同时刻的随机变量 与 的混合原点矩（若存在） 记作32若
6、取 ，称 与 的中心矩为随机过程的自协方差函数，简称协方差函数。则有此时相关函数即为均方值 。33(1)(2)(3)随机过程数字特征之间的关系：从这些关系式看出，均值函数和相关函数 是最基本的两个数字特征，其它数字特字特征，协方差函数 方差函数都可以由它们确定。34四、互相关函数两个随机过程之间的关系互协方差函数互相关函数3536373839404142求 的均值函数和相关函数。432.4 复随机过程二、复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数44相关函数协方差函数相互之间的关系三、协方差函数的性质454647 二阶矩过程 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 正态过程 维纳过程 平稳过程
7、2.5 随机过程的几种基本类型48二阶矩过程定义：设已给定随机过程 ， 如果对于一切 均有 ， 则称 为二阶矩过程。1、二阶矩过程必存在均值2、由Schwartz不等式 知其相关函数和协方差都存在。性质：49例题：设X(t),tT是正交增量过程，T=a,b为 有限区间，且规定X(a)=0，求其协方差函数。正交增量过程2、特点：不相重叠的区间上状态的增量互不相关 。5051独立增量过程2、特点：独立增量过程在任一个时间间隔上 过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠 的时间间隔上状态的改变。52正交增量过程独立增量过程定义依据：不相重叠 的时间区间上增量的 统计相依性互不相关相互独立正交增量过程
8、独立增量过程正交增量过程独立增量过程二阶矩存在，均值函数恒为零3、独立增量过程与正交增量过程的关系534、独立增量过程，其有限维分布，可由 增量的分布所确定54即有限维分布可由增量分布来确定。 555.平稳独立增量56例题：考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后 换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机 变量，令N(t)为在时间段0,t内更换设备的件数， 通常可以认为N(t)，t0是平稳独立增量过程。定理：平稳独立增量过程的有限维分布函数族由 其一维分布和增量的分布确定。注：有限维分布，首先由增量分布确定，而增量 分布由一维分布确定，最重要的独立增量过程是 维纳过程和泊松过程。57马尔可夫过程
9、2、马尔可夫性系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处 的状态与过去所处的状态无关。58例 证明独立增量过程是马尔可夫过程条件分布函数具有马尔可夫性,所以是马尔可夫过程。59定义：设X(t),tT是随机过程，若对任意正整 数n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是n维 正态随机变量，则称X(t),tT是正态过程或高 斯过程。特点： 1.在通信中应用广泛； 2.正态过程只要知道其均值函数和协方差函数， 即可确定其有限维分布。正态过程60(正态过程的一种特殊情况) 1、物理背景1827年英国植物学家罗伯特.布朗发现的现象 ：沉浸在液体或气体中质点不停地作不规则 过去
10、,只有在显微镜上才看得清的质点运动,称 为布朗运动。维纳过程61(3).质点的运动完全由不规则分子撞击而引起，在 不重迭区间上碰撞次数与大小是独立的,故在不重 迭区间上质点的位移是独立的,可理解为有均匀的 独立增量。这样导致了维纳过程的定义。 注:维纳是首先从数学上研究布朗运动的人之一。62633.统计特征6465例：证明维纳过程是正态过程。6667定义：设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数h 和正整数n，t1,t2, ,tnT，t1+h,t2+h, ,tn+hT， (X(t1),X(t2), ,X(tn)与(X(t1+h),X(t2+h), ,X(tn+h) 有相同的联合分布，则称X(
11、t),tT为严平稳过程 或侠义平稳过程。定义：设X(t),tT是随机过程，如果1.X(t),tT是二阶矩过程；2.对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；3.对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(t-s)则称 X(t),tT为广义平稳过程，简称为平稳过程。平稳过程68广义平稳过程严平稳过程广义平稳过程严平稳过程二阶矩存在对于正态过程，广义平稳过程和严平稳过 程是等价的。例：设随机过程X(t)=acos(t+)，a和都是 常数，是在(0,2)上均匀分布的随机变量， Y(t)=tX(t)，试分别讨论X(t)和Y(t)的平稳性 。 69作业：2.3 2.4 2.8 2.12 2.15第二章结束70
