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1、合情推理在数列中的体现能力的内涵的优质发展案例报告宁波市鄞州高级中学 叶琪飞一、归纳推理在数列中的体现二、类比推理在数列中的体现三、合情推理在解数列综合题中的体现“在数学里，发现真理的主要工具也 是归纳和类比。” 法国数学家拉普拉斯（1749-1827)合 情 推 理归纳推理：归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征， 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。 例1、观察下列等式:由以上等式推测到一个一般的结论：2009，浙江高考题第15题一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现由于加减号未注意，错成 24n1+2
2、2n1由于加减号搞反了，错成 24n1(1)n22n1由于未注意到n得取值从1开始，将4n1错成4n+3，或将2n1错成2n+1学生典型错误有如下三种：解：这是一种需归纳推理方法破解的问题， 结论由二项构成，第二项前有 ，二项指数 分别为 ，因此对于任意的一、归纳推理在数列中的体现(2010年考试说明中的参考试卷) 已知a00. 设方程a0xa10的1个根是x1, 则x1a1 / a0 设方程a0x2a1xa20的2个根是x1, x2, 则x1x2 a2/a0 ； 设方程a0x3a1x2a2xa30的3个根是x1, x2, x3, 则x1x2x3 a3 / a0 ； 设方程a0x4a1x3a2
3、x2a3xa40的4个根是x1, x2, x3, x4, 则x1x2x3x4 a4 / a0 ； 由以上结论, 推测出一般的结论: 设方程a0xna1xn-1a2xn-2an-1xan0的n个根是x1, x2, , xn ,则x1x2xn_.(1)n an/a0相关试题1: 例2、（2009年高考湖南卷理科第15题题） 将正ABC分割成n2(n2，nN) 个全等的小正三 角形(图图2，图图3分别给别给 出了n=2,3的情形)，在每个三 角形的顶顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及 平行于某边边的任一直线线上的数(当数的个数不少于3时时) 都分别别依次等差数列，若顶顶点A ,B ,C处处的三个
4、数互 不相同且和为为1,记记所有顶顶点上的数之和为为f(n)，则则有f(2)=2，f(3)=_ ，f(n)=_ 一、归纳推理在数列中的体现A(a)B(b)C(c)x1x2gy1y2z1z2CAB图2ABC图3一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现2 、解法3似乎违背了题意“若顶点A ,B ,C处的 三个数互不相同”这一条件，其实是命题人为了 干扰考生设计的陷阱，有此地无银三百两之嫌， 这里利用了一般到特殊的思想方法求解。一、归纳推理在数列中的体现 解题感悟：1 、以等差数列为背景，考察学生的阅读理解能 力，运算能力，推理能力，合情猜想能力，能力 立意高，设计新颖独特;这是一道很好
5、的探索性、 开放性、研究性的试题，解决其需要经历判断、尝 试、归纳、猜想与推证得过程，特别是从前若干特 例中推理发现一般规律的能力。将正ABC分割成n2(n2，nN) 个全等的小正三 角形(图图2，图图3分别给别给 出了n=2,3的情形)，在每个三 角形的顶顶点各放置一个正实实数，使位于ABC的三 边及平行于某边边的任一直线线上的数(当数的个数不少 于3时时)都分别别依次成等比数列，若顶顶点A ,B ,C处处的三 个数互不相同且积积为为1,记记所有顶顶点上的数之积为积为 f(n)， 则则有f(n)=_ 一、归纳推理在数列中的体现A(a)B(b)C(c)x1x2gy1y2z1z2ACAB图2BC
6、图31相关试题2: 变式 一、归纳推理在数列中的体现 相关试题3：（2009湖北卷文） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数 能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称 图2中的1，4，9，16这样的数称为正方形数。下 列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）A.289 B.1024 C.1225 D.1378 C 1 3 6 101 4 9 16图1图2相关试题4： 已知数列 满足 ， 求 的值。相关试题5： 已知数列 满足 ，求连乘积 的值。一、归纳推理在数列中的体现例4、宁波市2009学年度高三数学第一学期期末试卷
7、 (理科)第17题：整数数列 满足:则数列 的通项分析：本题考生要经历观察-探究-归纳-猜想-验证-证明的思维过程。 一、归纳推理在数列中的体现一、归纳推理在数列中的体现二、类比推理在数列中的体现 类比推理：这种由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理（简称类比）。开普勒：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师 ”二、类比推理在数列中的体现 例5、（2009浙江文科第16题）设等差数列 的前n项和为Sn，则S4 , S8S4 , S12S8 , S16S12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列 的前n项积为Tn，则T4
8、， ， 成等比数列【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合 的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理 的方法和能力 二、类比推理在数列中的体现 例6、（2000上海）在等差数列 中，若 则有等式 成立，类比上述性质，相应的，在等比数列 中，若 则有等式成立 二、类比推理在数列中的体现 二、类比推理在数列中的体现 记等差数列 的前 项的和 为利用倒序相加法 ,可将 表示成首项为 末项 与项数 的一个关系式，记公式 类似地，记等比数列 的前 项积为 且 试类比等差数列求和的方法，可将 表示成首项 末项 与项数 的一个关系式,记公式 _相关试题1：解：二、类
9、比推理在数列中的体现 等差数列有如下的性质：若数列 是等差数列，则当 时，数列 也是等差数列；类比上述性质，相应的，若数列 是正项等比数列，当 时，数列 也是等比数列。 相关试题2：二、类比推理在数列中的体现 相关试题3 ： 已知命题：“若数列 为等差数列，且 ” ，现已知数列 为等比数列， 且 ，若类比上述结论，则可得背景知识：基本数列的通项公式。三、合情推理在解数列综合题中的体现 等差数列和等比数列是数列中最基本也是最简 单的两大数列，数列综合题难度最高莫非与不等 式结合的题目，所涉及的非基本数列都要转换到 基本数列进行求解，这就需要合情推理，观察其 结构，结合解题经验，对问题的走向做出预
10、测， 当然这其中需要直觉、估算、转换视角等思维方 式的参与。例7、（2002年高考数学全国卷理科第22题）设数列 满足 ()当 时，求 并由此猜想出 的一个通项公式 ； ()当 时，证明对所有的 有 三、合情推理在解数列综合题中的体现 分析：第()问，容易猜想 对第()问，用数学归纳法加以证明。难在第() 问。注意到 ，可把右边的 看成以 为首项， 为公比的等比数列的和。能想到用数列 来控制数列 ，因此只需证 三、合情推理在解数列综合题中的体现 三、合情推理在解数列综合题中的体现 求证： 当 时 （） （） （）例8、2008浙江理科卷压轴题第22题 已知数列 记三、合情推理在解数列综合题中的
11、体现 三、合情推理在解数列综合题中的体现 三、合情推理在解数列综合题中的体现 三、合情推理在解数列综合题中的体现 相关试题1(2008年全国卷一第22题)设函数 ,数列 满足（）证明：函数 在区间 是增函数；（）证明： ；（）设 , 整数 证明： 三、合情推理在解数列综合题中的体现 (2008年陕西卷第22题)已知数列 的首项（）求 的通项公式；（）证明：对任意的 （）证明：相关试题2三、合情推理在解数列综合题中的体现 从特殊观察寻找并发现一般规律并给予证明是 新课程要求培养的一种数学思考方法，合情推理， 也是科学研究的很重要的方法，具有猜测和发现 结论、探索和提供思路的作用，有利于创新能力 的培养，随着新课程的实施这一思想方法的考查 会越来越受到重视。“合情推理是冒险的，有争议的和暂时的”美籍匈牙利数学家波利亚（1887-1985），
