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1、TSINGHUA UNIVERSITY第第9 9章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算与强度刚度计算第二篇第二篇 材料力学材料力学工程力学工程力学返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面 上仅有扭矩（上仅有扭矩（MMx x）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其作用时，与扭矩相对应的分布内力，其 作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即 为剪应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的剪应为剪应力。圆截面轴与非圆
2、截面轴扭转时横截面上的剪应 力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力 变形分析以及强度设计和刚度设计。变形分析以及强度设计和刚度设计。分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力 和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物 性关系。性关系。第第9 9章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算TSINGHUA UNIVERSITY返回 工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴及其扭转变
3、形及其扭转变形 第第9 9章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算TSINGHUA UNIVERSITY请判断轴受哪些力请判断轴受哪些力 将发生什么变形将发生什么变形 工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴及其扭转变形及其扭转变形 TSINGHUA UNIVERSITY 工程上传递功率的圆轴工程上传递功率的圆轴及其扭转变形及其扭转变形 当圆轴承受绕轴线转动的外扭当圆轴承受绕轴线转动的外扭 转力偶作用时，其横截面上将只转力偶作用时，其横截面上将只 有扭矩一个内力分量。有扭矩一个内力分量。不难看出，圆轴受扭后，将产不难看出，圆轴受扭后，将产 生扭
4、转变形（生扭转变形（twist deformationtwist deformation ），），圆轴上的每个微元的直角均圆轴上的每个微元的直角均 发生变化，这种直角的改变量即发生变化，这种直角的改变量即 为剪应变。这表明，圆轴横截面为剪应变。这表明，圆轴横截面 和纵截面上都将出现剪应力分别和纵截面上都将出现剪应力分别 用用 和和 表示。表示。 ABCDABCDTSINGHUA UNIVERSITY返回 剪应力互等定理剪应力互等定理 第第9 9章章 圆轴扭转时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算TSINGHUA UNIVERSITYyxzA AD DC C
5、B Bdxdydz微元能不能平衡？微元能不能平衡？怎样才能平衡？怎样才能平衡？哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？ 剪应力互等定理剪应力互等定理 TSINGHUA UNIVERSITYyxzA AD DC CB Bdxdydz哪些力互相平衡？哪些力互相平衡？ 剪应力互等定理剪应力互等定理 根据力偶平衡理论根据力偶平衡理论TSINGHUA UNIVERSITY剪应力互等定理剪应力互等定理yxzA AD DC CB Bdxdydz 剪应力互等定理剪应力互等定理 如果在微元的一对面上如果在微元的一对面上 存在剪应力，另一对与剪应力存在剪应力，另一对与剪应力 作用线互相垂直的面上必然垂作用线互相垂直的面上
6、必然垂 直大小相等、方向或相对直大小相等、方向或相对( (两剪两剪 应力的箭头相对应力的箭头相对) )或相背或相背( (两剪应两剪应 力的箭尾相对力的箭尾相对) )，以使微元保持，以使微元保持 平衡。微元上剪应力的这种相平衡。微元上剪应力的这种相 互关系称为互关系称为剪应力互等定理剪应力互等定理或或 剪应力成对定理剪应力成对定理(theorem of (theorem of conjugate shearing stress) conjugate shearing stress) TSINGHUA UNIVERSITY返回 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 第第9 9章章 圆轴扭转
7、时的应力变形分析圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算与强度刚度计算计算TSINGHUA UNIVERSITY应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 变形协调方程变形协调方程 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 静力学方程 TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 变形协调方程变形协调方程 圆轴
8、扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相圆轴扭转时，其圆柱面上的圆保持不变，都是两个相 邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征，邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。根据这一变形特征， 假定假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且 绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。这就是关于圆轴扭转的平这就是关于圆轴扭转的平 面假定。所谓面假定。所谓“刚性地转过一角度刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径，就是横截面上的直径 在横截面转动之后依然保持为一直线。在横截面转动之后依然保持为一直线。 TSINGHUA UN
9、IVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 变形协调方程变形协调方程 称为称为单位长度相对扭转角单位长度相对扭转角（angle of twist per angle of twist per unit length of the shaftunit length of the shaft）。）。对于两相邻截面，对于两相邻截面，故上式表明：故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与 该点至截面中心之间的距离成正比该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的。上式即为圆轴扭转时的 变形协调方程变形协调方程。 TSINGH
10、UA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的弹性范围内的 剪应力剪应变关系剪应力剪应变关系 TSINGHUA UNIVERSITY剪切胡克定律剪切胡克定律 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 若在弹性范围内加载，即若在弹性范围内加载，即 剪应力小于某一极限值时，对剪应力小于某一极限值时，对 于大多数各向同性材料，剪应于大多数各向同性材料，剪应 力与剪应变之间存在线性关系力与剪应变之间存在线性关系此即为此即为剪切胡克定律剪切胡克定律（Hooke Hooke law in shearing
11、law in shearing），），式中式中G G为比为比 例常数，称为例常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量或或 切变模量切变模量(shearing modulus)(shearing modulus) 。 TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 其中其中于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。 对于确定的横截面是一个不变的量。对
12、于确定的横截面是一个不变的量。TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 弹性范围内的剪应力剪应变关系弹性范围内的剪应力剪应变关系 于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。 TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 静力学方程 TSINGHUA UNIVERSITY 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 作用在横截面上的
13、剪应力形成一分布力系，这一力系向作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向 截面中心简化结果为一力偶，其截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭力偶矩即为该截面上的扭 矩。于是有矩。于是有 此即静力学方程。此即静力学方程。 TSINGHUA UNIVERSITYI IP P就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIGIP P称为圆轴的称为圆轴的扭转刚度扭转刚度（torsionaltorsional rigidity rigidity）。）。 静力学方程静力学方程 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 TSINGHUA UNIVERSIT
14、Y 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式，其 中中MMx x由平衡条件确定；由平衡条件确定；I IP P由积分求得。由积分求得。 TSINGHUA UNIVERSITY 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 TSINGHUA UNIVERSITY最大剪应力最大剪应力Wp 扭转截面系 数 圆轴扭转时的剪
15、应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 TSINGHUA UNIVERSITY截面的极惯性矩与截面的极惯性矩与扭转截面系数扭转截面系数 = = d d / / D D 对于直径为对于直径为 d d的实心圆截面的实心圆截面 对于内、外直径分别为对于内、外直径分别为d d 和和 D D 圆环截面圆环截面 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力分析 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 TSINGHUA UNIVERSITY已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最最 大剪应力大剪应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆空心圆 轴的内外直径之比轴的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴。二轴 长度相同。长度相同。例例 题题 1 1求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外 直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。确定二轴的重量之比。 圆轴扭转时的剪应力分析圆轴扭转时的剪应力
