状态受限最优控制问题的有限元方法

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1、计算数学专业优秀论文计算数学专业优秀论文 状态受限最优控制问题的有限元方法状态受限最优控制问题的有限元方法关键词：最优控制关键词：最优控制 状态受限状态受限 有限元法有限元法 分布参数分布参数 积分约束积分约束摘要：在近三十年来，分布参数最优控制问题的数值方法一直是一个非常活跃 的研究领域.有限元方法已经被广泛的应用于数值求解不同类型的分布参数最优 控制问题.并且很多学者都认为有限元方法特别适合处理这一类型的问题. 虽 然，最优控制问题的有限元方法已经有了大量优秀的成果，但大部分的研究工 作主要集中于控制受限的最优控制问题.近些年来，一些学者开始考虑状态受限 的最优控制问题的有限元方法.这类问

2、题在实际应用中经常出现，但却又非常难 于处理。在这些学者中，大部分研究工作主要关注于一个比较特殊的问题一状 态逐点受限问题.该问题具有约束形式：y（） ，相关的工作参阅 12，21，22，26，33.在一些适当的条件下，对于状态逐点受限的最优控制问 题，Casas 在21中证明了 Lagrange 乘子在测度意义上存在.一般情况下对于 纯状态受限问题，乘子是一个 Radon 测度.同时接触集包含一些未知的自由边界， 而且在自由边界附近解的正则性较低.因此，对于这个问题的有限元分析是非常 困难的。然而，在近几年中，对于状态逐点受限的最优控制问题的有限元方法 还是有了一些进展. 然而在实际的工程应

3、用中，人们通常更为关心如何约束 状态变量的平均值或者状态变量一些能量范数。例如，我们希望控制流体的浓 度或者流体的动能.所以其实也存在很多其它类型的状态约束，如积分约束，L2 模约束，H1 模约束，等等.以前的有些学者研究了一些抽象形式的状态约束.他 们讨论了相应于问题的 Lagrange 乘子的存在性.但是对于这些问题的有限元逼 近和误差分析，很少有系统的研究.近些年来，一些研究者开始关注这类问题的 数值方法.Tiba 和 Troltzsch 使用不精确的罚方法研究了一个状态积分形式受 限，抛物方程作为状态方程的最优控制问题.由于他们使用了不精确的罚方法， 因而讨论依赖于罚参数 ，并且对于观

4、测状态正则性的一些假设在实际中也不 太合适.另外一个相关工作是由 Casas 在23中给出的。对于半线性椭圆方程作 为状态方程，在有限个状态约束下的最优控制问题，Casas 给出了有限元逼近 的收敛性证明.随后 Casas 和 Mateos 在25中扩展了他们的结论：降低了对于 状态的正则性要求，并且也对半线性分布和边界控制问题的有限元逼近也给出 了收敛性证明.在他们的讨论中，需要对解的局部性质做很多假设，并且没有给 出有限元解的 L2 和 L。模的最优阶误差估计. 在本篇论文中，我们将对几 类整体型状态受限的最优控制问题及其有限元方法给出系统的研究. 在分布 参数最优控制问题的有限元方法研究

5、中，另一个非常重要的方向是自适应方法 的研究.最近的研究表明合适的自适应网格可以大量减少有限元离散解的误差. 为了得到精度可以接受的数值解，自适应有限元方法的本质是应用后验误差估 计子去指导网格的加密生成过程.只有当后验误差估计子数值比较大的地方才会 被加密，因而计算节点比较高密度的分布在精确解比较难于被逼近的地方.所以， 对于具有奇性的解，可以使用最少的自由度得到较为精确的数值逼近解.自适应 有限元方法目前已经被广泛的应用于各种科学计算.对于有效的处理偏微分方程 的边值问题和初边值问题，自适应有限元方法的理论和应用已经到达了某种成 熟的地步.相关的一些理论和技巧，可以参见2，31，34，43

6、，77，82，86-88. 通常，最优控制问题中的最优控制具有一些奇性.例如在一个障碍类型的约束下， 沿着接触集边界最优控制的梯度有间断.因此，数值计算的误差通常主要分布在这些解有奇性的地方，参见58.显然，一个有效的离散格式应该有较多的计算 节点分布在这些地方.相反地，如果计算网格不能适当的生成，那么在控制有奇 性或状态有边界层的地方会产生较大的计算误差.所以大量的研究表明，自适应 有限元方法应用于计算最优控制问题是非常有效的。已经有大量文献研究了控 制受限最优控制问题的自适应方法.我们简要的回顾一些相关工作，基于残量方 法的后验误差估计分别被：Liu 和 Yan66，Hintermulle

7、r 和 Hinze44， Gaevskaya、Hoppe 和 Repin37研究过.将对偶含权残量方法应用于最优控制问 题，可以参阅 Becker 和 Rannacher 的文献8.近来的一些研究可以参阅 50，90.关于这一领域中的一些未解决的问题可以参阅67. 与控制受限的 问题不同，自适应方法处理状态受限的最优控制问题也是最近才有了一些初步 的进展.对于状态逐点受限问题，Hoppe 和 Kieweg 在49中给出一个基于残量 的方法后验估计.Guther 和 Hinze 在42中将对偶含权残量方法应用于状态受 限的最优控制问题.Bendix 和 Vexler 在9中也给出了一个类似的方法

8、. Wollner 在91中给出一个基于内部点方法的自适应方法，并且他还处理了状 态梯度受限的问题.但是一般学者都认为，状态逐点受限问题的自适应有限元方 法还是一个未解决的问题.另一方面，限于作者的知识，目前还没有关于积分或 L2 模状态受限最优控制问题的自适应有限元方法的研究工作. 此外，多套网 格在计算最优控制问题中通常也是非常有用的，见 Liu64.在一个有约束的最 优控制问题中，最优控制和状态通常具有不同的光滑性，因此它们奇性的分布 位置也是不同的。这就意味着用一套网格的策略通常可能是效率很低的。多套 自适应网格（即：根据不同的后验误差指示子，对不同变量分别给出不同的自 适应网格）通常

9、是必要的。由于通常最优控制问题是一个非线性问题，需要迭 代求解。对控制和状态分别用不同的自适应网格，可以允许用较粗网格去求解 状态方程和伴状态方程.因为计算最优控制主要的计算负载是在重复的求解状态 方程和伴状态方程，所以大量的计算工作可以被节省，相关方面的研究，参见 50，57，68. 在本篇论文中，结合使用多套网格，我们将对于状态受限积 分约束和 L2 模约束的最优控制问题给出相应的自适应有限元方法. 求解最优 控制需要将求解优化过程和求解状态方程统一结合起来.在现有的科学文献中， 已经有大量关于最优控制问题的快速数值算法的研究.主要有两种方法：一种是 着眼于最优性条件，直接求解最优性条件.

10、这种方法通常需要求解一组偏微分方 程.另外一种是直接离散原优化问题，使其转化成一个有限维的优化问题，然后 可以用标准现成的优化软件求解.关于这一领域的最新进展可以参阅46和85.然 而上述两种方法不能被视为完全无关.在本篇论文中，基于优化算法的思想，我 们将介绍一个简单但却有效的梯度投影算法去求解离散后的有限元系统，并且 我们给出了算法收敛性的证明.同时对于不易计算投影的问题，我们也给出了两 个鞍点搜索算法，并且证明了算法的收敛性. 本篇论文出一些关于状态受限 最优控制问题的有限元方法的工作所构成.状态变量的约束在本质上是积分类型.同 状态逐点受限问题不同，通常这类问题的解具有较高的正则性，所

11、以可以预期 能得到一些有限元方法的成果.然而，限于作者的知识，到目前为止还很少有对 此类问题作系统有限元分析的工作. 我们发展了一系列的技巧去研究这些不 同类型的问题.显然，我们在研究过程中使用的技巧和前人的完全不同.下面我 们逐章的介绍论文的创新点： 在第二章中，讨论了积分状态受限的最优控制 问题.首先，我们证明了 Lagrange 乘子是一个实数，这一点为我们的数值分析 奠定了基础.其次，我们得到了有限元解的误差先验估计.再次，通过使用一个L2 投影，我们得到了一些超收敛性的结果.并且利用这些结果，得出了最优的 L2 和 L模误差估计.最后，我们提出了一个简单但有效的梯度投影算法，并且 证

12、明了算法的收敛性.所有的结论都是基于使用多套网格，这仲方式特别适合处 理控制和状态具有不同奇性的问题. 在第三章中，讨论了 L2 模状态受限的最 优控制问题.首先，我们证明了 Lagrange 乘子满足：=ty，其中 t 是一个实数， 而 y 是状态.其次，我们得到了有限元解的误差先验估计.再次，通过使用一个 L2 投影，我们得到了一些超收敛性的结果.并且利用这些结果，得出了最优的 L2 和 L模误差估计.最后，我们给出了相应的梯度投影算法，并且证明了算法 的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格. 对于状态积分受限和 L2 模受 限的最优控制问题，第四章研究它们相应的自适应有限元方法.我们分

13、别得到了 这两类问题的等价的后验误差估计子.这些估计子特别适宜应用于多套自适应网 格，去捕捉控制和状态的不同奇性分布. 在第五章中，我们讨论了 H1 模状态 受限的最优控制问题.首先，证明了 Lagrange 乘子满足：=t（u+y） ，其中亡 是一个实数，u，y 分别是控制和状态.其次，我们得到了有限元解的先验误差 估计.最后，我们给出了相应的梯度投影算法，并且证明了算法的收敛性.所有 的结论也是基于使用多套网格. 基于第二章的一些结论，我们在第六章研究 了一个积分形式控制和状态同时受限的最优控制问题.我们得到了有限元解的收 敛性结论和误差先验估计.给出了两类鞍点搜索算法来处理同时受限的最优

14、控制 问题，并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格. 在第七 章中，我们讨论了一个目标泛函不带罚项的 L2 模控制受限的最优控制问题.首 先，我们证明了伴状态满足：p=tu，其中 t 是一个实数，u 是控制.其次，我们 得到了有限元解的收敛性结论和误差先验估计.最后，我们给出相应的梯度投影 算法，并且证明了算法的收敛性. 在每一章中，我们都通过数值试验去验证 理论分析的结果.正文内容正文内容在近三十年来，分布参数最优控制问题的数值方法一直是一个非常活跃的 研究领域.有限元方法已经被广泛的应用于数值求解不同类型的分布参数最优控 制问题.并且很多学者都认为有限元方法特别适合处理这一

15、类型的问题. 虽然， 最优控制问题的有限元方法已经有了大量优秀的成果，但大部分的研究工作主 要集中于控制受限的最优控制问题.近些年来，一些学者开始考虑状态受限的最 优控制问题的有限元方法.这类问题在实际应用中经常出现，但却又非常难于处 理。在这些学者中，大部分研究工作主要关注于一个比较特殊的问题一状态逐 点受限问题.该问题具有约束形式：y（） ，相关的工作参阅 12，21，22，26，33.在一些适当的条件下，对于状态逐点受限的最优控制问 题，Casas 在21中证明了 Lagrange 乘子在测度意义上存在.一般情况下对于 纯状态受限问题，乘子是一个 Radon 测度.同时接触集包含一些未知

16、的自由边界， 而且在自由边界附近解的正则性较低.因此，对于这个问题的有限元分析是非常 困难的。然而，在近几年中，对于状态逐点受限的最优控制问题的有限元方法 还是有了一些进展. 然而在实际的工程应用中，人们通常更为关心如何约束 状态变量的平均值或者状态变量一些能量范数。例如，我们希望控制流体的浓 度或者流体的动能.所以其实也存在很多其它类型的状态约束，如积分约束，L2 模约束，H1 模约束，等等.以前的有些学者研究了一些抽象形式的状态约束.他 们讨论了相应于问题的 Lagrange 乘子的存在性.但是对于这些问题的有限元逼 近和误差分析，很少有系统的研究.近些年来，一些研究者开始关注这类问题的 数值方法.Tiba 和 Troltzsch 使用不精确的罚方法研究了一个状态积分形式受 限，抛物方程作为状态方程的最优控制问题.由于他们使用了不精确的罚方法， 因而讨论依赖于罚参数 ，并且对于