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1、引言自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类 ： 确定性现象：在一定条件下必然发生某一结果的现象。其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结 果总是确定不变的。例如：在标准大气压下，纯水加热到1000C时必然会沸腾 ，半径是R时，圆面积一定是 等。 随机现象：在相同条件下，重复进行实验或观察，它的 结果未必是相同的现象。其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或 观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现 哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。例如：掷硬币出现正面反面情况，在一定条件下，某射 手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。概率论与数理统计就是研究随
2、机现象的数量统计规律性 的数学分支。确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因 果关系。概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现 象的大量观察揭示其规律性。同学在学习中要注意其规律和方法。 随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其 进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是 随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。 这正是概率论所研究的对象。第一章 概率论的基本概念随机试验我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试 验，记为E。叙述试验，我们要注意到：1、“在一定条件下，进行一次试验”包括内容： 试验条件；观察特性（要观察的目的）2、结果
3、的描述随机试验有什么特点？下面举例看一看！随机试验E，样本空间 ， 基本事件，事件，概率的定义序号试验试验 条件观观察特性可能结结果 E1将一枚硬币币抛掷掷 一次出现现正面H反 面T的情况H, TE2将一枚硬币币抛掷掷 二次同上E3从六张张卡片每张张 标标有1，2， ，6一 个数字（4张红张红 色 ，2张张白色）任取 一张张观观察抽取卡片 上的号码码数1，2，3，4，5，6E4同上观观察卡片上的 颜颜色“红红色”，“兰兰色”上面所列举的试验，其共同的特点是：1、可以在相同的条件下重复进行（可重复性）2、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可 能的结果 （预知性）3、一次试验之前不能确
4、定预言中哪一个结果会出现（随机 性） 具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E。我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。（二）随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件，记为 或e 所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为样本点 满足两点： 1 完备性：样本点是E 的所有可能结果 2 互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。记为A，B，C.集合论论全集（集 合）点子集概率论论样样本空间间S样样本点 （基 本事件）事件A关系：如（出现正面）（第二次出现正面）（取到卡片上号码大于3）=C =（4，5，6）（四）频率与概率频率：
5、在相同条件下，独立重复进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA叫事件发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率， 记为f n(A)。 特点：（1）频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小。（2）具有波动性的弱点。频率具有“稳定性”的特性，即当试验次数n逐渐增大时。 频率f n(A)逐渐稳定某一 定数。 实验实验 者 试验试验 次数正面向上次数正面向上频频率德.摸根204810610.5181蒲丰404020480.5069K.皮尔 逊逊1200060190.5016例：掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中，正面出 现频率 fn (H)的趋势，如图0.51由上面演示可看出
6、：在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值“附近摆动， 而且当试验次数n越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频 率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率，记P(A)。 用它表示事件A发生的可能性大小。概率的频率定义 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n 次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大 时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动，而 且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的 幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不变 的条件下发生的概率，记作P(A)=p.概率的定义：设S是试验E的样本空间，对于E的每一事件A赋予 一个
7、实数P(A)，如果P(A)满足：公理（1）对于任何事件A，有公理（2）对于S，有P(S)=1公理（3）对于对于两两互斥的事件A1,A2,Am, 则称P(A)为事件A的概率概率的公理化定义 二. 概率的计算（一）直接计算古典概型: 1. E的样本空间S只含有限个样本点（基本事件）记 n 2. E的每个基本事件发生的可能性相同古典概型中:其中n是S中 的个数k是A中包含的 个数（1）计算n，k要用到两个基本原理和排列、组合1. 乘法原理如果完成某件事需经k个步骤第一个 第二个 第k个步骤有 步骤有 步骤有n1种方法 n2种方法 nk种方法 必须经过每一步骤才能完成此事。 则完成这件事共有 种不同方
8、法如 火车3列 火车2列 北京 飞机2班 济南 飞机3班 上海汽车4趟 汽车2趟北京到上海的走法共有2. 加法原理 设完成某件事有k种方式：第一种 第二种 第k种方式有 方式有 方式有n1种方法 n2种方法 nk种方法 无论通过哪种方式都可以完成此事。 则完成这件事总共有n1+n2+nk 种方法。如 火车5列 北京 飞机3班 天津汽车6趟北京到天津的共有3+5+6=11种方法排列公式如：该公式可视为以下模型：m个球放在n个盒子中，每个盒子最多有一个球（或说m个球都不在同一盒子中）第一个球任意放在n个盒中之一，有n种方法可放第二个球任意放在剩下n-1个盒中之一，有n-1种方法第m个球任意放在剩下
9、n-m+1个盒中之一，有n-m+1种方法把m个球全放完共有方法：种特别：可重复排列，如：m个球任意放入n个盒子中，盒中 球的个数不限，共有方法 种。如：从0，1，2.9个数字中任取7个数字为某城市的电话 号码，该城市最多可安装电话的部数是组合公式：（2）抽样方法10无放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，不放回再取一个，又不放回，再取下一个.20 有放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，放回再取一个，又放回，再取下一个.例1：从1，3，5三个数字中任取一个数字，求取的数字大于等于3的概率？解：设A表示事件“任取一个数字大于等于3”。S=1,3,5, n=3, k=2例2：从1，3，5三个数
10、字中任取一个数字，不放回的再从中 任取一个数字。求下列事件的概率。 （1）“第一次取的是3，第二次取的是5”=A （2）“取的两个数字是3和5”=B分析第一次取球的情况不放回，第二次抽取1 3 53 5 1 5 3 1可知S=(1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3)解： n=6(1) k=1(2) k=2此问题，能否用如下方法计算是否对？例3. 如果例2中的抽样方法为有放回抽样，求P(A),P(B)第一次取球的情况有放回，第二次抽取1 3 51 3 5 1 3 5 1 3 5 S=(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3
11、,5), (5,1), (5,3), (5,5)n=9分析解： 例4：从分别标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9件同型产 品中，有放回的任取3件，求“取得3件的号码都是偶数”的概率？分析：由于是有放回的抽取，每取一件产品都有9种不同的取法。 有放回的抽取3件，便有 种不同的结果而要求取得的号码是偶数，所以只能从标号为偶数的4个中取得， 有放回的取3件，便有 种不同的结果。解：设D=“取得3件产品的标号都是偶数”思考：如果是无放回的抽取，结果如何呢？例5. 在100件同型产品中有5件废品，其余都是正品。今从100 件中无放回的任取10件，求取的产品正好有三件废品的概率分析：正好取得3件废
12、品实际上是“正好取得3件废品，7件正品 从100件中无放回的取10件，共有 种不同的取法。正好取得3件废品，只能从5件废品中任取3件，共有 不同的取法而另外7件必须从95件正品中取得，其不同的取法有 种。所以正好取得3件废品共有 种不同的取法解：设A=“正好取得3件废品”“A、B中至少有一个发生时”， “A发生或B发生”与“事 件AB发生”是等价的。（二）用概率性质（1）集合运算：和、交（积）、差，自己复习“事件A和B同时发生”， “A发生且B发生”， “A和B都 发生”与“事件AB发生”是等价的。A发生且B不发生时，事件AB发生。A与B互斥（互不相容）即A与B没有共同元素AB A与B对立（互
13、逆）满足条件：且AS-A也称为A的逆事件，记为（2）概率的性质。要熟记10 若则 20 一般加法公式ABAB30两两互斥，则如：产品的次品率是5% （次品）=A（正品）=40 BAAB例5：甲、乙二人独立破译密码，甲、乙能译出的概率依次为0.5，0.6，又知甲乙能同时译出的概率是0.4，求密码能译出的概率？解：（甲能译出）=A（乙能译出）=B（甲乙能同时译出）=AB由条件知 P(A)=0.5P(B)=0.6P(AB)=0.4P(密码能译出)= P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB) =0.5+0.6-0.4=0.7 例6：已知事件A的概率P(A)=0.6，求法一：条件扩大法二：BA例
14、7：在同型产品中，有8件次品，其余为正品，今从这100件产品中，任取10件。求至少取得1件次品的概率。解：记A=“至少取得一件次品”.法一：用古典概率知：法二：先计算=“不取得次品”三、条件概率与乘法公式例：甲、乙两厂生产同一种零件，它们的产品情况如下表：产品混放在一起，从中任取一件产品， （1）“取得的一件产品是甲厂生产的”=A。 求P(A) （2）“取得的一件产品是次品”=B。求P(B) （3）“取得的一件产品是甲厂生产的次品”=AB 求P(AB) （4）已知取得的一件是甲厂的产品，求它是次品的概率，正品次品小计计 甲厂502070 乙厂25530 7525100 解：注意：以上四个问题的
