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1、 例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意 取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。分析:(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 种 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 有 种取法,所以一共有 种取法.(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 种 取法,3双鞋中取出1双有 种方法,另2双鞋中各取1只 有 种方法故共有 种取法.引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上
2、，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根 据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时 ，根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接法 ”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法,采 用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采用捆绑 法；“分离”问题可用插空法等。解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；分为甲、乙、丙三组，每组4人；分为三组，每
3、组4人。例1：12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。答案C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。C122.C105.C55A22 C124.C84.C44 A33小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平 均分配问题。1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出 组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名 而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名 （或给出组名但不指明各组多少个）种数的 基础上乘以组数的全排列数。2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的 ，一定要在给出
4、组名的基础上除以组数的全排列数。3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是平均分配。这样分配问题就解决了。 结论：给出组名(非平均中未指明 各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。例2：求不同的排法种数。 6男2女排成一排，2女相邻； 6男2女排成一排，2女不能相邻； 4男4女排成一排，同性者相邻； 4男4女排成一排，同性者不能相邻。例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合 双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭 配方法。分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有 C82.C72种；然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？ 男女-男
5、女 Aa-Bb Ab-Ba Bb-Aa Ba-Ab显然： 与； 与在 搭配上是一样的。所以只有2 种方法，所以总的搭配方法有 2 C82.C72种。先组后排1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演 ，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少 种？练习：（一）.有条件限制的排列问题例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ a,e排在一起多少种排法？ a,e不相邻有多少种排法？ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？解： （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两 端有A22
6、种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种 。由乘法共有A22. A33=12(种)排法。优先法二二. .排列组合应用问题排列组合应用问题解： 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理:共有A32. A33=36种排列.间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。解：捆绑法：a,e排在一起，可以将a,e看成 一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列，有 A44种； a,e两个元素的全排列数为A22种，由乘法原 理共有A44. A22(种)排列。解：排除法：即用5个元素的全排列数A55，扣除 a,e排在一
7、起排列数A44. A22，则a,e不相邻的排列总数 为A55- A44. A22（种）插空法：即把a,e以外的三个元素全排列有A33种， 再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42 种，由乘法原理共有A33. A42 (种)解: a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺 序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排 列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共 有排列总数为A55 / A22（种）注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数 P33。例2：已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个
8、数。（二）有条件限制的组合问题：解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： 2个偶数，3个奇数；3个偶数，2个奇数；4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件 的有两类： 5 个都是奇数；4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105（三）排列组合混合问题：例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2 名女同学分别承担A，B，C，D，E 5项工作。一共有 多少种分配方案。解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，
9、3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种 工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人（ 排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给4 个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63. A42=14400(种).亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配 方案有C52 . A42.A63=14400(种).例例4.4.九张卡片分别
10、写着数字九张卡片分别写着数字0 0，1 1，2 2，8 8，从中取出三，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果张排成一排组成一个三位数，如果6 6可以当作可以当作9 9使用，问使用，问 可以组成多少个三位数？可以组成多少个三位数？解：解：可以分为两类情况：可以分为两类情况： 若取出若取出6 6，则有，则有 种方法；种方法； 若不取若不取6 6，则有，则有 种方法，种方法，根据分类计数原理，一共有根据分类计数原理，一共有 + + 602602 种方法种方法 排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为具 体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。“具体 排”可以
11、帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因 。有同学总结解排列组合应用题的方法是“ 想 透，排够不重不漏” 是很有道理的。解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的 解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类 与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。典型例题1. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ ）。（A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ ）（A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ ）个。（A) (B) (C) (D) ABB练 习3. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。(1)分为三组，每组5人,共有_ 种不同的分法。 （2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各 4人，共有_种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组 4人，共有_种不同的分法。4. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 不站中间两位的排法有_种。5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有 _ 种不同的选法。
