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1、 代数结构1代数结构部分n第5章 代数系统的一般性质n第6章 几个典型的代数系统2第5章 代数系统的一般性质n5.1 二元运算及其性质n5.2 代数系统及其子代数和积代数n5.3 代数系统的同态与同构35.1 二元运算及其性质n 二元运算定义及其实例n 一元运算定义及其实例n 运算的表示n 二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律n 二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义 设 S 为集合,函数 f：SSS 称为 S 上的二元 运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元
2、运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二 元运算. 5二元运算的实例（续）(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算. 6一元运算的定义与实例定义 设 S 为集合，函数 f：SS 称为 S 上的一 元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数(2) 非零有理数
3、集 Q*，非零实数集 R*上的一元运算: 求倒数(3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数(4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算 (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反函数 (6) 在 Mn(R) ( n2 )上，求转置矩阵 7二元与一元运算的表示算符：, , , , 等符号表示二元或一元运算 对二元运算 ，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z；对一元运算 , x 的运算结果记作 x 表示二元或一元运算的方法：公式、 运算表注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符8公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ：x,
4、 yR, x y = x. 那么 3 4 = 30.5 (-3) = 0.5运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元与一元运算的表示（续）9运算表的形式a1 a2 an aia1a2. ana1a1 a1a2 a1an a2a1 a2a2 a2an. . . . . . . ana1 ana2 anan a1a2.ana1 a2. an10运算表的实例例4 A = P(a, b), , 分别为对称差和绝对补运算（a,b为全集） 的运算表 的运算表 a b a,b XX a b a,b a b a,ba a.b bb a,b a a,b b a ab a,ba,b a b 11运算表的实例（续
5、）例5 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , , 分别为模 5 加法 与乘法 的运算表 的运算表 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 40 1 2 3 41 2 3 4 02 3 4 0 13 4 0 1 24 0 1 2 3 012340 0 0 0 00 1 2 3 40 2 4 1 30 3 1 4 2 0 4 3 2 1 12二元运算的性质定义 设 为 S 上的二元运算,(1) 如果对于任意的 x, y S 有x y = y x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z S 有(x y) z = x (y z), 则称运算在 S
6、上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x S 有 x x = x, 则称运算在 S 上满足幂等律.13实例分析Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.集合运算交换换律结结合律幂幂等律 Z, Q, R普通加法+有有无 普通乘法有有无 Mn(R)矩阵阵加法+有有无 矩阵阵乘法无有无 P(B)并有有有 交有有有 相对补对补 无无无 对对称差有有无 AA函数符合无有无14二元运算的性质（续）定义 设 和 为 S 上两个不同的二元运算,(1) 如果 x, y, zS 有 (x y) z = (x z) (y z)z
7、 (x y) = (z x) (z y) 则称 运算对 运算满足分配律. (2) 如果 和 都可交换, 并且 x, yS 有 x (x y) = x x (x y) = x 则称 和 运算满足吸收律. 15实例分析集合 运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法 + 与乘法 对对 + 可分配无 + 对对 不分配Mn(R)矩阵阵加法 + 与乘法 对对 + 可分配无 + 对对 不分配P(B)并 与交 对对 可分配有 对对 可分配 交 与对对称差 对对 可分配无 对对 不分配Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2.16二
8、元运算的特异元素单位元 定义 设为S上的二元运算, 如果存在el（或er ）S，使得对任意 xS 都有el x = x ( 或 x er = x )，则称 el ( 或 er )是 S 中关于 运算的 左 ( 或右 ) 单位元. 若 eS 关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为 S 上关于 运算的 单位元. 单位元也叫做 幺元.17二元运算的特异元素（续）零元设 为 S 上的二元运算, 如果存在l（或r） S，使得对任意 xS 都有l x =l ( 或 x r =r )，则称l ( 或r )是 S 中关于 运算的 左 ( 或右) 零元. 若S关于运算既是左零元又是右零元，则称为 S
9、上关于运算 的 零元.18二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元. 对于 xS，如 果存在yl（或 yr）S 使得yl x = e（或 x yr = e）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 关于 运算，若 yS 既是 x 的左逆元又是 x 的 右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.19实例分析集合运算单单位元零元逆元 Z, Q, R普通加法+0无X 的逆元 x 普通乘法10X 的逆元 x1 (x-1属于给给定集合)Mn(R)矩阵阵加法 +n阶阶全0矩阵阵无X逆元X矩阵阵乘法 n阶单
10、阶单 位矩阵阵n阶阶全0 矩阵阵X的逆元 X1 （X是可逆矩阵阵） P(B)并B 的逆元为为 交BB 的逆元为为 B 对对称差无X 的逆元为为 X20惟一性定理定理 设 为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于 运算的惟一的单位元. 证 el = el er = el er = er 所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e 也是 S 中的单位元，则有e = e e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元
11、素既是单位元也是零元. 21惟一性定理（续）定理 设 为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算 的单位元, 对于 xS 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆元. 证 由 yl x = e 和 x yr = e 得yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元, 则y= y e = y (x y) = (y x) y = e y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素
12、 x 只有 惟一的逆元，记作 x1. 22消去律定义 设为V上二元运算，如果 x, y, zV，若 x y = x z，且 x不是零元，则 y = z若 y x = z x, 且 x 不是零元，则 y = z 那么称 运算满足 消去律. 实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律. Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律. 23例题分析解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ,x y = x+y+2xy = y+x+2yx
13、 = y x,任取x, y, zQ,(x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6 设 运算为 Q 上的二元运算，x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 运算是否满足交换和结合律? 说明理由.(2) 求 运算的单位元、零元和所有可逆元.24给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x y = 0 成立，即x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当 x 1/2时， 是 x 的逆元. 例题分析（续）(2) 设运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.对于任意 x 有 x = 成立，即x+2 x = x + 2 x = 0
