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1、要点梳理1.二项式定理.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，其中的系数 （r=0，1，2，n）叫做 .式中的叫做二项展开式的 ，用Tr+1表示，即展开式的第 项；Tr+1= .10.3 二项式定理及其应用二项式系数通项r+1基础知识 自主学习2.二项展开式形式上的特点（1）项数为 .（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 .（3）字母a按 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.（4）二项式的系数从 ， ，一直到 ， .n+1n降幂升幂3.二项式系数的性质（1）对称性：与首末
2、两端 的两个二项式系数相等，即（2）增减性与最大值：二项式系数 ，当时，二项式系数是递增的；当 时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.当n是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值.“等距离”（3）各二项式系数的和（a+b）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即=2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 奇数项的二项式系数的和，即 = .等于基础自测1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A.24B.18 C.16 D.6解析 T2=所以2n=8，n=4,所以 = =6.D2.（2009浙江理，4）在二项式 的展开式中
3、，含x4的项的系数是（）A.-10B.10 C.-5 D.5解析 的展开式的通项为令10-3r=4,得r=2,x4项的系数为 =10.B3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为（）A.3B.6C.9D.12解析 x3=2+（x-2）3，展开式中含（x-2）2项的系数为a2=T2+1= 23-2=32=6.B4.在 的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是（）A.3B.4C.5D.6解析 通项Tr+1=常数项是15，则2n=3r,且 =15，验证n=6时，r=4合题意.D5.（2009北京理，6）若（1+ ）5=a+b (a、b为有
4、理数)，则a+b=（）A.45B.55C.70D.80解析 (1+ )5=1+5 +20+20 +20+4=41+29 =a+b ,a=41,b=29.C又a、b为有理数,a+b=41+29=70.题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.利用已知条件前三项项的系数成等差数列求出n,再用通项项公式求有理项项.解 二项展开式的前三项的系数分别是1， ，n（n-1），2 =1+ n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去），思维启迪题型分类 深度剖析当4- kZ时，Tk+1为有理项，0k8且kZ,k=
5、0，4，8符合要求.故有理项有3项，分别是T1=x4，T5= x，T9= x-2.n=8，展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5= x.求二项项展开式中的指定项项，一般是利用通项项公式进进行，化简简通项项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时项时 ，指数为为零；求有理项时项时 ，指数为为整数等），解出项项数k+1，代回通项项公式即可.探究提高知能迁移1 已知 的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.解 由题意知，22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,2n=3
6、2,解得n=5.（1）由二项式系数的性质知， 的展开式中第6项的二项式系数最大，即 =252.（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，rZ，r=3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4=- 27x4=-15 360x4.题型二 求展开式中各项系数之和【例2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.因为为求的是展开式的系数和,所以可用赋值赋值 法求解.解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 令x=-1,则a0-a1+a2-a
7、3+a4-a5+a6-a7=37 思维启迪(1)a0= =1,a1+a2+a3+a7=-2.(2)(-)2,得a1+a3+a5+a7= =-1 094.(3)(+)2,得a0+a2+a4+a6= =1 093.(4)(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小于零,|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),=1093-（-1094）=2 187探究提高 本题采用的是“赋值法”，它普遍适用 于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时， 经常要用到这种方法.对形如（ax+b）n、（ax2+bx+c）m （
8、a，b， cR,m,nN*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对（ax+by）n（a，bR，nN*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+= ，偶数项系数之和为 a1+a3+a5+=知能迁移2 设（2- x）100=a0+a1x+a2x2+a100x100,求下列各式的值：(1)a0;(2)a1+a3+a5+a99;(3)(a0+a2+a4+a100)2-(a1+a3+a99)2;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a10
9、0|.解 （1）方法一 由（2- x）100展开式中的常 数项为 2100，得a0=2100.方法二 令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1,得a0+a1+a2+a99+a100=(2- )100 令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+ )100联立得a1+a3+a99=(3)原式=（a0+a2+a100）+（a1+a3+a99）（a0+a2+a100）-（a1+a3+a99）=（a0+a1+a2+a100）(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2- )100(2+ )100=1.(4)展开式中，a0,a2,a4,a100大于零，而a1,a3
10、,a99小于零，原式=a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100=(2+ )100.题型三 二项式定理的综合应用【例3】 （12分）（1）求证：46n+5n+1-9是20的倍数（nN*）；（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？（1）将6n化为（5+1）n，5n+1化为5(4+1)n利用二项式定理展开，提取公因数20.（2）3100被7除余几？关键是如何产生7.3100=950=（7+2）50；250=4816=4（7+1）16.（1）证明 （运用二项式定理证）46n+5n+1-9=4(5+1)n+5（4+1）n-9 3分=4-9思维启迪解题示范故结论成立. 6分（2）解 3100=
11、950=（7+2）50= 75020+ 74921+ 7249+ 70250=7Mn+250，(MnN*）， 9分又250=2316+2=4816=4(1+7)16=4( +7 +72 +716 )=4+7Nn (NnN*),3100被7除余数是4，故再过3100天是星期五.12分探究提高 用二项项式定理处处理整除问题问题 ，通常把底数写成除数（或与除数密切关联联的数）与某数的和或差的形式，再用二项项式定理展开，只考虑虑后面（或者是前面）一、二项项就可以了.同时时，要注意余数的范围围，a=cr+b，其中余数b0，r），r是除数，利用二项项式定理展开变变形后，若剩余部分是负负数要注意转换转换 .
12、知能迁移3 求证：（1）32n+2-8n-9能被64整除（nN*）；（2）3n(n+2)2n-1 （nN*，n2）.证明 （1）32n+2-8n-9=3232n-8n-9=99n-8n-9=9（8+1）n-8n-9=9（ 8n + 8n-1+ 8+ 1）-8n-9=9（8n+ 8n-1+ 82）+98n+9-8n-9=982（8n-2+ 8n-3+ ）+64n=649（8n-2+ 8n-3+ ）+n，显然括号内是正整数，原式能被64整除.（2）利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明.因为nN*，且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.（2+1）n=2n+ 2n-1+ 2+12n+n2
13、n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1.方法与技巧1.通项公式最常用，是解题的基础.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.思想方法 感悟提高4.性质1是组合数公式 的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，
14、是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.失误与防范1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.3.通项公式是第r+1项而不是第r项.一、选择题1.（2009重庆理，3）(x2+ )8的展开式中x4的系数是（）A.16B.70 C.560D.1 120解析 设二项式展开式的第r+1项含有x4,则Tr+1= (x2)8-r（ ）r.16-2r-r=4,r=4.x4的系数为 24=1 120.D定时检测2.在 的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A.3项B.4项C.5项D.6项解析 Tr+1=故当r=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项.C3.在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A.-7B.7 C.-28D.28解析 只有第5项的二项式系数最大，则展开式
