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1、数理统计的基础知识11. 某电视机厂全年生产的电视机，2.某个交通路口，3.某汽车在高速公路上行驶,4.有一大批工业产品,其中参数电视机的寿命，设X为任一 服从什么分布？在任意一个小时内通过的车辆 服从什么分布？任一时刻的速度 服从什么分布？其中有正品和次品, 任取一件,记服从01 分布:数为X，为X,从中该产品为正品该产品为次品2数理统计 就是研究怎样有效地收集、整理和带有随机性的数据,以便对所考察的问题 作出推断和预测,分析, 直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.这种由局部观察来对总体下结论 必须建立在科学的方法基础上,否则就会犯错误.数理统计的就是给出这种统计推断任务之一以科学的理
2、论及方法.3数理统计 1. 如何从总体中抽样?2.如何用所抽样品对总体进行推断?抽样全面调查(如人口普查)部分调查总体部分抽样统计推断 估计假设检验主要研究两方面的问题:4由于抽样是一个随机现象, 对总体所作的推断不可能绝对准确, 多少含有一定程度的不确定性, 这种不确定性概率大推断比较可靠 概率小推断不太可靠 数理统计的核心问题是: 从总体中抽取样本 并且 必须伴有一定的概率 这种伴有一定概率的推断所以根据部分观测 或试验的结果用概率的大小表示.(部分资料), 根据样本所得到 的部分信息 对该总体作出推断(检验、估计) 以表明推断的 称为统计推断.要求每个推断 可靠程度. 51.抽样分布 是
3、进行统计推断的基础理论部分. 2. 参数估计 假设总体的分布类型已知, 3. 假设检验 对总体的分布估计其中的参数.或分布中的参数提出假设,讨论 样本信息 对假设作出成立与否的判断.怎样利用 4. 回归分析之间的相互关系,根据样本信息,对两个或两个以上 随机变量 进行统计推断.64.1 总体与样本 一、总体与总体分布 总体：研究的对象的全体构成的集合. 个体：组成总体的每一个成员. 统计学中关心的不是每个个体的所有特性, 而仅仅关心它的某一项或某几项数量指标.总体是一个随机变量.( 或随机向量 ) 总体的分布称为总体分布. 定义4.1统计学中称随机变量( 或随机向量 )X为总体, 并把随机变量
4、( 或随机向量 ) X的分布 称为总体分布.用X表示每个个体的这一项 数量指标.（几项）7总体中所含个体的数量容量有限的总体容量无限的总体称为总体容量.称为无限总体;称为有限总体;8说明: 表示总体的X 既可以是随机变量， 也可以是 随机向量. 如果只关心每一个体的 一项数量指标， 则总体是随机变量； 数量指标，如果关心两项 或两项以上 则总体就是随机向量.但为简化讨论， 本书只考察一项数量指标的情形, 因此, 今后总体都是随机变量.9二、样本与样本分布10由于 所以样本通常但当一次抽样实现后, 称它们为样本值一是指某次抽取的 有时泛指一次抽取的可能结果,从总体X中随机抽取n个个体 称为总体X
5、的这n个 一个容量为 的样本,n称为是从总体X中可能 结果,是n个随机变量, 也把它们看成一个元随机向量 它们就变成了n个具体的 或样本观测值. 常有一个容量为n的样本时,每当提到总体 的 双重意义:具体数值,即样本值 这时个体 样本容量. 随机抽取出来的数值:是指样本随机变量11抽样应满足下面两个条件: (1)随机性:(2)独立性:满足以上两个条件的抽样简单随机样本一定相互独立,有了简单随机样本，都与总体总体中的每一个个体 有同等的机会每次抽取的结果,不受其它抽取结果也不影响其它抽取结果.称为简单随机抽样且每个有相同的分布.被抽到.的影响,就可以利用概率论中 独立，同分布 条件下的一系列结论
6、. 12定义4.2 是一组相互独立，在一次试验中,称为样本值设X是总体,的随机变量.且与 有相同分布则称简单随机样本,简称样本.为来自总体 的称为样本容量,样本的具体观测值或样本观测值.13设总体X的分布函数为故样本的分布函数为：因都与总体同分布， 故 的分布函数也是14由于相互独立, 所以(1) 若总体X 是连续型的 与总体 有相同的分布,所以由于所以 的 联合密度函数为其概率分布为由于 独立, 是离散型的,(2) 若总体X 与X同分布,154.2 统计量 定义4.3 的函数,任一不含未知参数 为统计量.说明: 也是随机变量. (2)统计量中可以有参数,是来自总体X的样本, 称(1)统计量但
7、不能有未知参数.设16例 当已知时,当未知时,的一次观测值由于统计量 就可以算出称为统计量 观测值.设总体是来自 的一个样本,是统计量;不是统计量.中不含未知参数, 对样本的17二、常用的统计量 是来自总体X的样本,设1.样本均值2.样本方差未修正样本方差修正样本方差要估计总体的方差用比用更好,简称 为样本方差.18未修正样本方差样本方差当 n 较大时,19样本方差3.样本标准差4.样本k阶原点矩5.样本k阶中心矩15 统称为矩统计量, 简称为样本矩. 它们都可表为样本的显式函数.205.样本k阶中心矩时，216. 顺序统计量是来自总体X的样本,设将各分量按由小到大的次序排列成称为样本的一组称
8、为样本极小值;称为样本极大值;称为样本的极差.顺序统计量.22三、枢轴量 定义 的分布已知,中仅包含总体的一个则称是来自总体X的样本,设如果函数未知参数并且设总体X的分布中 含有未知参数,为了估计,需构造一个包含的样本函数其分布已知. 已知分布为枢轴量.234.3 常用的统计分布24给定的一、分位数 定义4.4 设随机变量X对给定的实数,如果实数满足条件则称为X的分布的水平的上侧分位数.当X是连续型随机变量时， 其密度函数为的分布函数为25为 的水平的上侧分位数.给定的为 的水平1-的上侧分位数.26例 求标准正态分布的上侧分位数：解27如果连续型随机变量X 的密度函数是偶函数. 即密度函数的
9、图像关于 y 轴对称. 称X是对称分布的随机变量, 此时可定义定义4.5其分布函数 对给定的实数,如果正实数满足条件则称水平的双侧分位数.双侧 分位数. 设X是对称分布的随机变量, 为为X的分布的 注意:只有具有对称分布的随机变量,才有双侧分位数.28具有对称分布水平的双侧分位数.为X的分布的对于的随机变量X29例 求标准正态分布的水平=0.05, 的双侧分位数.及=0.1解 =0.05时,设对应的双侧分位数为=0.1时,设对应的双侧分位数为30函数:如函数有性质如311.定义 定义4.6 记为则称X服从自由度为 的其中 时与 有关.若随机变量 的密度函数为n为给定自然数.32即当 时 ,指数
10、分布.就是参数为 的当 时 ,密度函数的图像 皆为单峰曲线， n 越大, 峰值越靠右, 曲线越平缓. 33定理4.2 推论 相互独立，设随机变量 与都服从 则若随机变量相互独立,则分布,都服从 分布,34定理 设则因为定理 若随机变量相互独立,且则证相互独立,所以也相互独立.根据 分布的可加性 ,即P66，例2.29当n较大时,可用正态分布近似.35例 且求解 设相互独立 ,则分布的自由度就是其数学期望 .进而可求出设36设对于给定的水平的上侧分位数给定的37例 设例 例 设当n较大时,可用正态分布近似. 当n45时,有表可查.的上侧分位数38例 设解 求解 求例 设总体一个简单随机样本 ,为
11、来自 的39相互独立也相互独立.求例 设总体一个简单随机样本 ,为来自 的解 40函数如函数有性质在区间41三、F 分布 1.定义 定义4.7 的概率密度函数为 若随机变量 则称X服从记为自由度为m和n其中 是给定自然数.的F分布,称为第一自由度, 称为第二自由度. 42即432. F分布的典型模式定理4.3 则设随机变量X和Y 相互独立,推论 若随机变量则443. F分布的设对于给定的水平的上侧分位数给定的45例( P276 )即即当0.1时, 可查表.46在F分布表中， 当 较大时,例 设求0.975可用结论:解47一般地，对有证 设证毕48四、t分布1.定义 定义4.8 的概率密度函数为
12、 若随机变量 则称X服从 记为t 分布,其中 是给定自然数.说明:为偶函数,其图象关于 轴对称.轴为 的渐近线 .与标准正态分布 的密度函数接近 .(4)当 较大时,自由度为n 的为函数的最大值.49即是偶函数,得到由 分布的密度函数50定理4.4 2. 分布的典型模式设随机变量且X与Y独立, 则51设对于给定的水平的上侧分位数给定的给定的52例 设P28653例 设544.4 抽样分布55定理 设则 定理 若随机变量相互独立,且则定理4.3 则设随机变量X和Y 相互独立,定理4.4 设随机变量且X与Y独立, 则56一、正态总体的抽样分布定理一个简单随机样本,证故它们的X的则因为独立,即且都与
13、 同分布 ,线性组合设总体 是来自57在此定理的条件下，定理一个简单随机样本,X的则设总体 是来自58定理4.1 一个简单随机样本,来自X的设总体 是分别为样本均值则相互独立 .和样本方差,与 59定理4.2 一个简单随机样本,来自X的设总体 是分别为样本均值和样本方差, 则1. 单正态总体的抽样分布602. 双正态总体的抽样分布设两个正态总体的样本,与 相互独立,是总体X的容量为 的样本 ,是总体Y的 容量为 与也相互独立,故P134 定理4.3 （1）61设两个正态总体的样本,与相互独立,是X的容量为的样本,是Y的容量为 与也相互独立,故定理4.3（1）当时，62设两个正态总体与 相互独立, 是总体X的容量为 的样本 ,是总体Y的有相同的方差，的样本,容量为 则其中定理4.3（3）63设两个正态总体的样本,与 相互独立,是总体X的容量为 的样本 ,是总体Y的容量为 定理4.3 （2）64例设是来自总体 的简单随机样本， 求系数使服从 分布,并求其自由度. 解自由度为3.65
