《高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(四)——在立体几何证明中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(四)——在立体几何证明中的应用（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间向量应用4在立体几何证明中的应用前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来 解决立体几何中的有关证明问题。立体几何中的有关证明问题，大致可分为“ 平行”“垂直”两大类：平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相 关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知b，a不在内，如果ab，则 a。2、如果a， a，则。3、如果ab， a，则b。（课本P22.6）4、如果a， b， ab，则。一、 用空间向量处理“平行”问题 一、 用空间向量
2、处理“平行”问题 GAEDCBFHMN例1.如图：ABCD与 ABEF是正方形， CB平面ABEF，H 、G分别是AC、BF 上的点，且AH=GF. 求证： HG平面CBE.MHAB,NG AB MHNG AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NGGAEDCBFHPPHCB,PGBE 平面HPG平面CBE HG平面CBE GAEDCBFHozy证明：由已知得：AB、 BC、BE两两垂直，故可 建立如图所示的空间直 角坐标系o-xyz.x设正方形边长为1, AH=FG=a, 则 H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面CBE的法向 量为 (0,
3、1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE RDBCAA1QPNMD1 C1B1例2.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P、 Q分别是A1B1和BC 上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： MN平面AC.M是中点，N是中点 MNRQ MN平面ACDBCAA1QPNMD1 C1B1作PP1AB于P1， 作MM1 AB于M1，连结QP1， 作NN1 QP1于N1，连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MNM1N1MN平面ACDBCAA1QPNMD1 C1B1zyxo证明：
4、建立如图 所示的空间直角 坐标系o-xyz 设正方形边长为2 ，又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、 Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而 M(2, 1, 1) 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法 向量为 (0, 0, 1)， 又M不在平面AC 内，所以MN平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方体ABCD- A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD平面CB1D1平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面A1BD平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方
5、形边长为1， 则向量设平面BDA1的法向量 为则有 x+z=0x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1 故平面BDA1的法向量为同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1CB1D1通过本例的练习，同学们要进一步 掌握平面法向量的求法：即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0，利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。例1、2与例3在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FG HE例4.在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A
6、1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH平面BDGFADGF，AD=GF又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形ADGE AEDG 故得平面AEH平面BDGFDCBAD1C1B1A1HG FEozyx略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 则求得平面AEF的法向 量为求得平面BDGH的法向 量为显然有故 平面AEH平面BDGF二、 用空间向量处理“垂直”问题 二、 用空间向量处理“垂直”问题 FEXYZ证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点
7、，且BE=a，CF=2a 。求证:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防设 a =2 ，则A（0，0，0），B（3 ，1，0），C（0，2，0）， E（ 3，1，2） ，F（0，2 ，4），AE=（ 3，1，2） AF=（0，2，4），因为，x 轴面ACF，所以可取面ACF 的法向量为m=（1，0，0） ，设n=（x,y,z)是面AEF的 法向量，则xnAE=3x+y+2z=0 nAF=2y+4z=0x=0 y= -2z令z=1得, n=（0，-2，1）显然有m n=0，即，mn面AEF面ACF证明：如图，建立空间直角 坐标系A-xyz ，ADCB求证：平
8、面MNC平面PBC；求点A到平面MNC的距离。已知ABCD是矩形，PD平面ABCD， PDDCa，AD ，M、N分别是 AD、PB的中点。PMN练习1小结：利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是 近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化 为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的 证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述 立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中 可以进一步看出基中一些解题的“套路”。利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。
