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1、第七章 无穷级数习题课 (二)函数项级数一、幂级数 1幂级数的基本概念(1) 幂级数的定义： (2) 收敛半径： (3) 幂级数的和函数： 或收敛区间： 存在正数 当 幂级数收敛，当 幂级数发散，称为幂级数的收敛半径。 收敛域：收敛点的全体 2幂级数和函数的性质 （1）连续性： （2）可导性： （3）可积性： 3幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即 型、 型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。 对于 型，通过求 ，得半径 ， 然后讨论 处的敛散性，从而得收敛域；对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论处的敛散性，从而得收敛域。 解题方法流程
2、图如下。对于 型，令 , 化为 型, 可得收敛域；解题方法流程图 求幂级数收敛域判别幂级数类型收敛域收敛域 令 讨论 处的敛散性， ，其它 讨论 处的敛散性 当 时收敛 当 时发散用比值法 令 1234幂级数和函数的求法求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先积分后求导”等技巧，并利用与形如 （或 等）幂级数的和函数，求出其和函数。解题方法流程图如下图所示。 求 的和函数令NoYesYesNo能直接求 出和函数 恒等变换 直接求和逐项积分逐项求导逐项求导逐项积分Yes能直接求出 和函数NoYesNo 能直接求出 和函数解题方法流程图5典型例
3、题 【例1】 求幂级数 的收敛半径及收敛域。解： 当 时，级数为 ，该级数收敛。当 时，级数为 ，该级数收敛。故此幂级数的收敛域为 。 【例2】求幂级数 的收敛域。解：令 ，原级数变为 所以 ，即 时，幂级数收敛。当 时，级数为 ，为交错级数收敛， 当 时，级数为 ，为P-级数发散，故此幂级数的收敛域为 。【例3】求幂级数 的收敛域。解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法当 ，即 时，级数收敛。当 ，即 时，级数发散。当 时，级数为 ，为交错级数收敛。当 时，级数为 ，为交错级数收敛。故此幂级数的收敛域为 。 【例4】求幂级数 的和函数，并求的和。 解：记 求导得 积分得 令 ，则 【例5】* 求幂
4、级数 在收敛区间 内的和函数。分析：由于幂级数 ，通过比较级数 和 的一般项，不难发现， ，而 ，所以应用给定的幂级数先积分，后求导， 就可以利用 进行计算。 解：令 对幂级数在区间 内逐项积分，得：其中， 。 再应用逐项积分的方法得：对 求导得 所以 对 求导得 即 注：本题利用“先导后积”的方法求和函数，数项级数求和可通过幂级数和函数求得。二、函数的泰勒级数1泰勒级数定义：称为 在点 的泰勒级数。 2麦克劳林级数定义：称为 的麦克劳林级数。3将函数展开成泰勒级数(幂级数)直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶导数，写出泰勒展开式。 间接展开法：间接展开法通常要先对函数 进行恒等变
5、形，然后利用已知展式（如函数 ，的展开式等）或利用和函数的性质（求导数或积分），将函数展开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。 求 的幂级数展开式关于 的幂级数对 求导对 积分令将 展成 的 幂级数求直接展开法间接展开式对 进行恒等变形能利用已 知展开式令令写出 的展开式Yes关于 的幂级数NoNo解题方法流程图4典型例题 【例6】将函数 展开成的 幂级数，并指出收敛区间。 分析：由于 ，如果能把 分解为 的形式，那么就可以利用解：对 进行恒等变形：已知函数 ，把 和 分别展开成 的幂级数。 而 故 满足 ，即 ，成立区间为： 注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。【例7】 将函数 展开成 的
6、幂级数。分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的间接方法是很难 把展开成 的幂级数，所以，只能用解：因为而 对 先求导再积分的间接方法展开成 的幂级数。 又因为 ，从而积分得因为幂级数在 处收敛，所以所以，收敛域为 。 【例8】* 将函数 展开成 的幂级数。分析：与上题的解题思路相同。对函数 可采用先求 导后积分的方法展开为 的幂级数。 解： 三、傅里叶级数1傅里叶级数的类型：且在（1）傅里叶级数：设 是以 为周期的函数， 上可积，称 为 傅里叶级数，其中称为 傅里叶系数。（2） 正弦级数： （3） 余弦级数： 2收敛定理（狄利克雷充分条件）：设 是以 为周期的函数，如果它满足条件：
7、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则 的傅里叶级数收敛，并且： 当 是 的连续点时，级数收敛于 ； 当 是 的间断点时，收敛于 。 3如何把函数展开成傅里叶级数把给定的函数 展开成傅立叶级数，首先要判断是否为周期函数；如果 以 为周期，那么在定义域 内，可把 展开成 为周期的傅立叶级数；的特点（ 或 ），对 进行周期延拓、奇延拓展开成 为周期的傅立叶级数、或偶延拓，再把 正弦级数或余弦级数，最后限制在定义域上。如果 不是以 为周期的函数，则要判别 定义域解题方法流程图如下图所示。 将 展开成付氏级数确定 在 上的解析式展成余弦级数展成正弦级数对 进行偶延拓利用
8、收敛定理 标明成立范围对 进行奇延拓利用收敛定理 标明成立范围确定 在 上的解析式确定 在 上的解析式利用收敛定理 标明成立范围对 进行周期延拓利用收敛定理 标明成立范围YesNoNo以2l 为周期解题方法流程图4典型例题 【例9】设周期为 的周期函数 在 上的表达式为 ,试将其展开成傅里叶级数。 处不连续，所以函数 收敛于 傅里叶系数为解：所给函数满足收敛定理，在 且【例10】将 展开成傅里叶级数. 解：所给函数在 上满足收敛定理，将函数 进行周期延拓，函数在每一点均连续. 为偶数,所以傅立叶系数为：并求常数项级数 的和.【例11】在 上将函数 展开为正弦级数,解：将函数 进行奇延拓，则有 函数 的正弦级数为 令 , 则注：数项级数求和也可通过傅立叶级数展开式求得。 【例12】* 将函数 展成余弦级数。 解： ,将函数 进行偶延拓,则有函数 的余弦函数为版权声明本ppt为网络收集，有任何疑问请 及时和本人联系，我将在第一时间 做出处理。如有侵犯你的利益，非 常抱歉，收到通知后我将立刻删除版权声明
