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1、课程名称：课程名称：随机过程随机过程 课程设计（论文）课程设计（论文）题题 目目: : 平稳时间序列平稳时间序列 MA(q)MA(q)模型的计算模型的计算 学学 院：院： 理学院理学院 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 班班 级：级： 数学数学 12-112-1 班班 学学 生生 姓名：姓名： 学学 生生 学号：学号： 20110270412011027041 指指 导导 教师：教师： 蔡吉花蔡吉花 20132013 年年 1212 月月 1010 日日目 录随机过程课程设计1任务书任务书 .3 摘摘 要要 .4 1.1.基本原理基本原理 .1 2.2.问题的分析与求解问题的分析与
2、求解 .1 2.1 模型的识别.1 2.1.1 MA(q)MA(q)序列的自相关函数 .2 2.1.2 MA(q)MA(q)序列的偏相关函数 .3 2.2 样本的自相关和偏相关函数.5 2.2.1 样本的自相关函数.5 2.2.2 样本偏相关函数与自相关函数的关系 .5 2.3 模型的参数估计.6 3.3.计算程序与结果计算程序与结果 .7 4.4.确定模型阶数确定模型阶数 .12 5.5.结论结论 .13 6.6.参考文献参考文献 .13 附附 录录 .14随机过程随机过程课程设计任务书课程设计任务书随机过程课程设计2姓名吕超学号2012027143指导教师蔡吉花设计题目平稳时间序列的 MA
3、(q)模型的计算理论要点时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据判别时间序 列模型以及怎样确定模型的参数和阶数，确定平稳时间序列模型的 类型，看是否是要研究的 MA（q）模型.然后运用此模型进行相关 分析。设计目标通过课程设计，独立完成所给出的课题。通过课题的理论设计和在计算机中实验调试代码，加深计算理论知识的理解，培养计算软件开发的实践技能，提高分析解决具体问题的能力。研究方法 步骤获取被观测系统时间序列数据。根据数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数和偏相关函数。判断该数据符合 MA(q)模型,最后由参数估计求出 MA(q)模型预期结果由已知的一组平稳时间序列的数据，编写 matla
4、b 程序求出自相 关函数和偏相关函数,并且画图判别平稳时间序列符合 MA(q)模型, 由参数估计求出 MA(q)模型.计划与进 步的安排课程安排一周，分 4 次完成：第一次（ 1 天）：审题并查找相关资料，第二次（2-3 天）：对相关资料进行整理和分析，第三次 (4-6 天)：编写程序进行求解并撰写论文， 第四次（ 7 天）：对论文进行整体检查和排版。参考资料1吴怀宇 时间序列分析与综合 武汉大学出版社 2周荫清 随机过程理论 电子工业出版社 3刘次华 随机过程（第五版） 华中科技大学出版社 4田铮 时间序列的理论与方法 高等教育出版社 施普林格出版社填写时间2013 年 12 月 15 日
5、摘摘 要要随机过程课程设计3时间序列是指按照时间先后的顺序排列的随机序列，或者说是定义在概率空间上的一串有序随机变量集合，简记为；它的每一个样本( , , )p ,0, 1,.tX t tX（现实）序列，是指按时间先后顺序对所反映的具体随机现象或系统进行观测或试X验得到的一串动态数据。所谓时间序列分析，就是根据有序随机变量或,0, 1,.tx t 者观测到的有序数据之间相互依赖所包含的信息，用概率统计方法定量的建立一个合适的数学模型，并根据这个模型对所相应序列所反映的过程或系统做出预报或进行控制。本文主要研究自回归模型(线性模型)，首先对 MA（q）模型的理论作相关分析，包括模型的识别、模型的
6、定阶方法、求样本的自（或偏）相关函数、模型的参数估计以及模型的预报。再通过引例，用 Matlab 程序对化学反应过程中记录的浓度的 197 个数据进行分析，找出其变化规律，先将已知数据标准化，然后求出其变自相关函数和偏相关函数，再画出图像，根据图像判别相关函数的拖尾，截尾性，最后确定一个具体的 MA（q）模型。关键字：关键字：平稳时间序列，自相关函数，偏相关函数，MA(q)模型随机过程课程设计0平稳时间序列的平稳时间序列的 MA(q)MA(q)模型的计算模型的计算1.1. 基本原理基本原理MA（q）模型：）模型：设为零均值的实平稳时间序列，阶数为 q 的滑动平均模型定义为 t(1.1)11tt
7、tqt qaaa 其中称为滑动平均系数，并简记公式(1)为。满足,1,2,kkq( )MA q的随机序列称为 MA(q)序列。用延迟算子表示，以上(1)公式可以写成( )MA q(1.2)( )ttB a (1.3)1( )1q qBBB 对于(1.2)中的模型，若满足条件：的根全在单位圆外，即( )MA q( )0B所有根的模于 1，则称此条件为 MA(q)模型的可逆性条件。当模型满足可逆性条件时，存在，此时公式(2)可以写成1( )B1( ) ttaB它称为逆转形势，模型(1.2)中的可以看做是白噪声序列输入线性系统t ta中的输出。对于一个平稳时间序列预测问题，首先要考虑的是寻求与它拟合
8、最好的预测模型。而模型的识别与阶数的确定则是选择模型的关键。2.2. 问题的分析与求解问题的分析与求解要想运用平稳时间序列模型对实际生活中的问题进行预报和控制，首先我们得知道是哪类时间序列模型，然后才能运用此模型进行相关分析。因此，如何判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数成为解决本问题的关键。2.1 模型的识别由随机过程分析知，利用白噪声的特性，对于任一相关随机时序ta，总可用一个互相独立的正态白噪声序列经线性滤波作用而得到。也,0, 1,.tX t ta就是说，以为输入，由滤波器将“加权叠加” ，给出输出时序。这种输入、输出及tatatX滤波器三者之间的关系可用模型（2.1）11220 0
9、(1) ttttjtj jXaaaa 随机过程课程设计1来描述，式（2.1）中是实数权重，且。式（2.1）通常称(0,1,2,)jj0j j 为的滑动和，是将时序用现在与过去时刻的白噪声的加权和表出，并且是军方tata tXta收敛的，特别的，当时，式（2.1）可以写成jq0j1122ttttqt qXaaaa (2.2)将式（2.2）称为 q 阶滑动平均模型，记作 MA(q)。显然，凡是满足 MA(q)模型的时序，总是平稳的，而不论的值如何。X(1)jjq引入后移算子 B，有 (2.3)( )ttXB a式（2.3）中。如果多项式可逆，即存2 12( )1q qBBBB ( )B1( )B在
10、，则式（2.3）可以写成1( ) ttB Xa将分解因式( )B 1( )(1)qjjBv B 于是11( )()1q j ttt jjbB XXv B式中为常数。当时，上式右边的每一项可展开成一个(1)jbjq1(1)jvjq收敛级数。由此可见 MA(q)模型是可逆的。显然，可逆的虫咬条件是，1(1)jvjq或方程式的根全在 B 平面单位圆外。2 12( )10q qBBBB 为了将 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型加以区别，下特给出一个表，可快速的识别平稳时间序列属于哪类模型。模型类别AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程( )ttB Xa( )ttXB a( )(
11、)ttB XB a平稳条件的根全( )0B在单位圆外无条件平稳的根全( )0B在单位圆外自相关函数拖尾截尾拖尾偏相关函数截尾拖尾拖尾2.1.1 MA(q)序列的自相关函数设为零均值的是平稳时间序列，阶数为 q 的自回归模型定义为tX11tttqt qaaa 用乘以上式两边，再取均值(由于序列的值为零，故自相关函数与协方差函t k随机过程课程设计2数相同)，为了不致混淆，记所得协方差函数为，则k1111()()ktt ktrqr qr kr kqr k qEE aaaaaa 1111qqqqtt kjtt kjit it kijt it kj jiijE a aE a aE a aE a a 利用 2,0,.a sttsE a ats显然上式第二项对一切都为零，其余各项依赖于kk(1) 当=0 时，有k222222 01 11qqtiiaia iiE aE a
