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1、LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来 的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生 了极限的理论和方法。 例如，设有一圆，首先作内接正6边形，把它的面积记为A1；再作内接正 12边形，其面积记为A2 ；在做正24边形，把它的面积记为A3；循环下去 ，每次边数加倍，一般地把内接正62n-1边形的面积记为An（n=1,2,3,.） 这样就得到一系列内接正多边形的面积： A
2、1， A2， A3，An， 它们构成一列有次序的数。N越大，内接正多边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆的面积的 近似值也越精确。但无论n取多么大， An终究只是多边形的面积，而 不是圆的面积。设想n无限增大，即内切正多边形的边数无限增加，在 这个过程中，从图形上看，内接正多边形将无限接近于圆；因此从数 值上看，内接正多边形的面积An将将无限接近于一个确定的值，这个 数值就是所要求的圆的面积。在数学上，将这个确定的数值称为上面这列有次序的数（称作数列）A1， A2， A3，An，的极限。可以看到，正是这个数列的极限精确地 表达了圆的面积。LISP 主导国际科技专家Leading Intern
3、ational Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,xn, , 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f (xn)第一节 数列的极限一、数列的极限LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED例.LISP 主导国际科技专家Leadin
4、g International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED1x看数列1.从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?2x1x2x3x4xnLISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab
5、 |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越 来越大时, xn越来越接近于1”就只须说明“ 当n 越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| xn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充 分大时,| xn1 |能够小于任意给定的, 无论多么 小的正数” 就行了,也就是说无论你给一个多 么小的正数, 当n充分大时, | xn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了 |xn1| 会越来越接近于0.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDIN
6、G LIMITED事实上, , 给, 很小, , 只须n1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED又给, 则从第10001项开始,以后各项都有LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED一般, 任给 0, 不论多么小, 只须. 因此,
7、从第项开始, 以后各项都有. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED定义: 设xn是一个数列, a是一个常数, 若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|xna|100,即从第101项其，以后的一切项均能满足这个要求；如果要| xn0 |1000，即从第1001项起，以后的一切项均能满足这个要求；一般地，如果要| xn0 |10k，即从第10k+1项起，以后的一切项均能满足这个
8、要求。这就是“当n无限增大时，无限接近于常数0”的含义。LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED比如, 对于刚才的数列1. 有若 0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0. 由于|xn1|=|c c|= 0取N=1, 当nN时, 有|xnc |=0N1时,N2, 当nN2时,取N=maxN1, N2, 则当nN时, 上两式同时成立.从而当 nN时, 有矛盾, 故极限唯一.若 0, 正整
9、数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0, 使得|xn|M, n=1, 2, . 则称数列xn有界, 否则, 称xn无界.由于 |xn|MMxnM xnM, M.故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间M, M内.看图0MxxnM)(LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED例1. xn=(1)n有界, 而xn=n2无界.x11x0 194x1x2x30x2nx2n-1LISP 主导国际科技专家Leading Internationa
10、l Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED设xna (n), 则对n=1, 2, ,有|xn|M证:由定义, 对=1, 存在自然数N,当nN时, 有|xna|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|xna|0 (aN时, 有xn0 (xnN时, , 则 有 xn0 (xn0). 且a0 (a0).LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED夹逼准则 .xn yn zn
11、证: 0 , N1, 当n N1时, 有 |xn a| N 时, 有LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITEDN2, 当n N2时, 有 a N * 时, (1), (2), (3)同时成立.有a b0时, 有移项, 有即LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED(1) 取有即LISP 主导国际科技专家
12、Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED(2) 取有即LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED由于单调有界, 从而必有极限.(e=2.71828, 为一无理数)LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOL
13、DING LIMITED定义1.或, 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xn | 0, N 0, 当 n N 时, 有 | xna | 0, N 0, 当 n N 时, 有 |n | N 时), LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED性质4. 若 xn 是无穷小量, yn a (0), 则1. 两个无穷小量的商不一定是无穷小量.2. 性质1, 2中的条件“有限多个“不能丢.如n个注: LISP 主导国际科技专家Leading Inter
14、national Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED例1. 解:例2. 解:故 原式 = 0.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITEDLISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED看数列 xn = n2, 即， 1, 2
15、2, 32, , n2, . x322210当 n 越来越大时, 数列 xn 的值也越来越大, 要多么大就有多么大, 可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).二、无穷大量LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED定义2. 若 G 0(无论多么大), N 0, 当 n N时, 有 | xn | G ,则称 xn 为无穷大量, 记作(1)(2) 任何常数列(常量)都不是无穷大量.注: LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITEDxxN+2Gx10xNGxN+1即, 当n N 时, xn 都落在区间 G, G外面.在 G, G内, 只有 xn 的有限多个项.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED例3. 设 | q | 1.证: G 0, (要证N 0, 当 n N 时, 有 | qn | G )要使
