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1、材 料 力 学 第九章 应力与应变分析 Analysis of Stress 则:eb面dAcos afb面dAsin a在杆件中,我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或 平面应力状态。一般的空间应力状态在杆件中很少出现,通常在弹性 力学中讨论。我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直 的任意斜截面上的应力。由 得:9-2 平面应力状态分析(I基本公式) Stress Analysis of Plane Stress State由 得:由剪应力互等定理知(|y|=|x|),注意到图中x方向为正,故|y|=x, 利用化简上两式,得:如以 代入上两式,易得 与a斜面垂直的另一斜面上的正
2、应 力和剪应力。且有:9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)下面介绍应力圆的作法:由基本公式易得:将此两式分别平方, 然后对应相加,可得: 此式表示一圆的方程,如图所示。此圆叫相应单元体的应力圆 (or摩尔圆Mohrs Circle)。在O 坐标系中,其圆心在轴上。圆心 与坐标原点O的距离为:其半径为:9-2 平面应力状态分析(II应力圆) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)对图a所示平面应力状态微元体 (已知:x,y,
3、x时),作应力圆如下: O*MPaxyCD1D2IIIA1A2xy9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle) 作好应力圆后,可用极点法在图上求解出此微元 体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的a,a如下:O*MPaxyCD1D2xyIf x/ 作D1P/dc,P为与D1P应力圆的 交点。叫极点。P(极点pole)E(a,aa2a应力圆上 E点的坐标,即 为a,a9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circ
4、le)下面证明前述图解法的正确性: 如图,应有:9-2 平面应力状态分析(II应力园) Stress Analysis of Plane Stress State(Stress Circle)从以上作图及证明可以看出,应力圆上的点与单元体上的 面之间存在一一对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应 力圆上其一点的坐标;单元体上任意A、B两个面的外法线之间 的夹角若为b,则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的 圆弧段所对的圆心角必为2b,且两者的转向一致(如图)。实质上,这种对应关系是应力圆的参数表达式(9l)和(92)以两倍 方位角为参变量的必然结果。根据这种对应关系,只要由单元体的x平
5、面和 y平面上已知的应力x、x和y、y(=-x)作出应为圆,就可很容易地从应 力圆确定任一a截面上的应力a、a。应力圆直观地反映了一 点处应力状态的特征,在实际 应用中,并不一定把应力圆看 作为纯粹的图解法,可以利用 应力圆来理解有关一点处应 力状态的一些特征,或从图上 的几何关系来分析一点处的 应力状态。9-2 平面应力状态分析 (III主应力与主平面Principal Stress and Principal Plane) 图解法(Graphical Method)因为主平面上=0,故应力圆与轴的两个交点A1,A2即为相应 单元体上的主应力;对应方向即主方向。O*MPa xyCD1D2II
6、IA1A2xyP(极点pole)III由应力圆易得:主应力是单元体上之 最大和最小正应力;两主平面互相垂直。(例题9-1,例题9-2:自学)9-2 平面应力状态分析 (III主应力与主平面Principal Stress and Principal Plane)III作业:9-2,9-9(c),9-10(g)解析法(Analytic Method)因为主平面上=0,若已知微元体在x 轴和y轴上的应力x、x和y、y(=-x), 则x轴和主方向的夹角ao应满足:与用转轴公式推导惯性主轴和主矩 类似,易得:结合z轴为主应力为零的 一个已知主方向,且三个相互 垂直的主应力必须满足 可进一步确定1,2,
7、3 的数值和方向。9-3 梁的主应力主应力迹线的概念 Principal Stress in Beam Principal Stress Trajectories对横力弯曲梁,其任一横截面 上的应力为:且在纵 截面上:故其沿梁高的应力变化情况如 图所示。其上一般点的主应力为:可见,梁上任一点一般有一 主拉应力和一主压应力。梁的主应力迹线是指这样一 簇曲线,其上的每一点之切线方 向均与该点的主应力方向重合。9-3 梁的主应力主应力迹线的概念 Principal Stress in Beam Principal Stress Trajectories作业:9-13因此,梁上存在两组相互正交的主应力
8、迹线簇主拉应力迹 线和主压应力迹线。显然,主应力迹线的形状与梁上荷载情况及其支承条件有关。在设计钢筋混凝土构件时,其上的主拉应力迹线可指导构件的配 筋。 在光弹实验中常用到主应力迹线的概念。9-4 空间应力状态的研究 Introduction to Analysis of Triaxial Stress State如图所示,一般 的空间应力状态是一 个二阶张量。它可用 一33的矩阵来表示 。通常,在剪应力ij 的两个下标中,第一 个下标i表示剪应力 所在的平面,第二个 下标j表示剪应力的 方向。例题9-4: 自学。9-4 空间应力状态的研究 Introduction to Analysis o
9、f Triaxial Stress State I. 三向应力圆(Three-Dimensional Stress Circle) 可见:解:该单元体有一个已知的主 应力z=20MPa。因此,与该 主平面正交的各截面上的 应力与主应力z无关,于是 ,可依据x截面和y截面上的 应力画出应力圆(图b)。从 图上可量得两个主应力值 为46MPa和-26MPa。将该单 元体的三个主应力按其代 数值的大小顺序排列为: 1=46MPa， 2=20MPa， 3=-26MPa9-4 空间应力状态的研究 Introduction to Analysis of Triaxial Stress State例题93
10、单元体各面上的应力如图a所 示。作应力圆,并求出主应力和最大剪应力 值及其作用面方位。9-4 空间应力状态的研究 Introduction to Analysis of Triaxial Stress State根据上述三个主应力值,便可作出三个应力圆如图b所示。在三 个应力圆中的最大应力圆上,B点的纵坐标(该圆的半径)即为该单元 体的最大剪应力，按比例尺量出为 max=BC=36MPa 从图b的应力图上量得2ao=34o,据此便 可确定1所 在的主平面 方位和主单 元体各面间 的相互位置 。其中最大 剪应力所在 截面与2平 行,与1和 3所在的主 平面各成 45o 夹角,如 图c所示。9-4
11、 空间应力状态的研究 Introduction to Analysis of Triaxial Stress State作业:9-17(a)例题93 单元体各面上的应力如图a所示。求主应力和最大剪 应力值及其作用面方位。 解:该单元体有一个已知的主应力z=20MPa 。因此,与该主平面正交的各截面上的应 力与主应力z无关,于是,可依据x截面和y 截面上的应力求出另两个主应力值为:将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为: 1=46MPa， 2=20MPa， 3=-26MPa 1所在的主平面方位:9-5 平面应力状态下的应变研究 Two - Dimensional Strain Anal
12、ysisyxxya一点的应力状态是由该点领域的变形情况决定的。此点的 应变状态即为该点邻域的变形(应变)情况的描述。弹性理论已 证明:任一点的应变状态也存在三个相互垂直的主方向,在此方 向上的剪应变g0;且对各向同性材料,应变主方向与应力主平 面的法线方向重合。我们现在来研究已知z轴为一主方向时 (gxz= gyz0),并已知x,y,gxy时求任意与x方 向夹角为a的x方向(及y方向x轴)的 a,ga:可以证明:可见,若将x,y, -gxy/2,a,-ga /2代换x,y,x,(y),a,a。则前面关于平面应力状 态的结论均可相对应地应用于平面变形状态的应变研究中。9-6 应力与应变间的关系
13、Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric Strain I,各向同性材料的广义胡克定律:一点的主应变为沿剪应变0的方向上之线应变。应用弹性理论 可以证明:对各向同性材料,主应变方向与主应力方向重合。故1方 向的主应变1为: 同理,得: 对平面应力状态,不妨设3=0,则有:可见,在3=0的平面应力状态下,30。 各向同性材料的三个弹性常数,存在以下关系 :9-6 应力与应变间的关系 Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric StrainI,各向同
14、性材料的广义胡克定律:对非主单元体,在线弹性,小变形,各向同性的条件下,弹性理论 已证明:沿坐标轴方向,正应力只引起线应变,而剪应力只引起同一平 面内的剪应变。故有:对z=0, xz=yz=0的 平面应力 状态,有:9-6 应力与应变间的关系 Generalized Hookes Law of Isotropical Materials Volumetric Strain对构件上z=0,gxz=gyz=0的点,叫平面应变状态点,其上的广义胡 克定律为:II,各向异性材料 的广义胡克定律: (P31-33,自学)III,各向同性材料的体积应变(Volumetric Strain):微元体单位体积
15、的体积变化,叫体积应变。设微元三边长dx, dy, dz,对应之正应力为x ,y ,z 。因小变形时对各向同性材料xy ,yz ,zx,所引起之线应变x, y, z与正应力引起之x ,y ,z 相 比为高阶微量,可忽略不计。故: V0 = dxdydzV1= dxdydz = 1xdx 1ydy 1zdzV01xyzo故,体积应变 : = V1V0V0 = xyz9-6 应力与应变间的关系 (III,各向同性材料的体积应变Volumetric Strain) 将广义胡克定律代入上式,得:此式即线 弹性小变形条 件下的广义体 积胡克定律 (Volumetric Hookes Law)上式表明:任一点处的体积应变与该点处的三个 主应力之和成正比。对于平面纯剪切应力状态,1=-3=xy,2=0,由上 式可见,材料的体积应变等于零。即在小变形条件下, 剪应力不引起各向同性材料的体积改变。例题97 边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大、变形 可略去不计的钢凹槽中,如
