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1、2函数的图象和性质当 a=0 时，由得 b=12Z，舍去；当 a=1 时，b=1 故 f（x）=（x1）x.（2）利用单调函数的定义证明，略（3）先确定函数的性质，再作图易知，函数 f（x）=x+（1x）的定义域为x|xR，且 x0，且是奇函数又|f（x）|=|x+（1x）|=|x|+（1x）2，函数 f（x）的值域是y|y-2 或 y2.由（2）知，f（x）在（0，1）上是减函数同理可证，f（x）在1，）上是增函数，再结合奇偶性，作出函数 y=f（x）的图象如图 22 所示 图 22例 2 设 f（x）是定义在区间1，1上的偶函数，g（x）与 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，且当 x2
2、，3时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）（a 为实常数） （1）求函数 f（x）的表达式；（2）是否存在 a（2，6或 a（6，），使 f（x）图象的最高点在直线 y=12 上？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由讲解：（1）由于函数 f（x）与 g（x）的图象关于直线 x=1 对称，且函数 g（x）的解析式为已知，所以可将函数 f（x）用 g（x）来表示，再根据 f（x）为偶函数来确定其解析式设（x，f（x）是 f（x）图象上任意一点，则点（x，f（x）关于直线 x=1 的对称点（2-x，f（x）在 g（x）的图象上f（x）=g（2-x）.当 x1，0时，2-x2，3，则 f（x
3、）=g（2-x）=-2ax+4x又 f（x）为偶函数，当 x0，1时，f（x）=f（-x）=2ax-4x综上，得-2ax+4x （x1，0），f（x）=2ax-4x（x0，1）（2）f（x）是偶函数，只需求 f（x）在0，1上的最大值即可当 a（2，6时，由 0x1 知，a-2x0.f（x）=2x（a-2x）（2a）9.当且仅当 4x=a-2x，即 x=0，1时，等号成立f（x）的最大值为（2a）9.令（2a）9=12，得 a4866，即 a6可见 a（2，6，此时 a 不存在当 a（6，）时，设 0xx1，则f（x）-f（x）=（x-x）2a-4（xxx+x）0x+xx+x3，a6，2a-4
4、（xxx+x）0又 xx，f（x）-f（x）0即 f（x）在0，1上是增函数，从而 f（x）的最大值为 f（1）=2a-4.令 2a-4=12，得 a=8（6，），符合题意例 3在上的递减函数（）满足：当且仅当时，函数值（）的集合为0，2，且（12）1；又对 M 中的任意，都有（）（）（）（1）求证：（14），而（18）；（2）证明：（）在 M 上的反函数1（）满足关系1（）1（）1（）；（3）解不等式1（）1（2）（14）（02）讲解：紧扣题意中的信息，不断进行解题语言的转换（1） 12，又 1412（12），（12）1， （14）（12）（12）（12）（12）20，2， 14 （18）（
5、12）（14）（12）（14）30，2， （18）（2） （）在 M 上是递减函数， （）在 M 上有反函数1（），且0，2任取，0，2，设1（），1（），则（），（）其中， （）（）（）， 1（），故1（）1（）1（）（3）利用（）的递减转化求解不等式 （）在 M 上递减， 1（）在0，2上也是递减的于是1（）1（2）（14）1（）（2）1（2）1（22）1（2）02，022，2220故原不等式的解集为0 三、专题训练1设 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，对于任意的 xR，有 f（x+1）=（1-f（x）（1+f（x）.当 0x1 时，f（x）=2x，则 f（55）的值是（）.A1B-1
6、C（12）D-（12）2设（）、（）都是单调函数，有如下四个命题：若（）单调递增，（）单调递增，则（）（）单调递增；若（）单调递增，（）单调递减，则（）（）单调递增；若（）单调递减，（）单调递增，则（）（）单调递减；若（）单调递减，（）单调递减，则（）（）单调递减其中，正确的命题是（ ）3直线与及（4）的图象相交，两交点之间的距离为（12）若，这里、均是整数，则等于（ ）6789 4定义在上的函数 y=f（x1）是单调递减函数（图 2-3），给出四个结论： f（0）=1;f（1）1；f1（1）0；f1（12）0其中正确结论的个数是（ ）图 2-3A1B2C3D4 5设 x（-1，1），f（x）
7、是偶函数，g（x）是奇函数，且 f（x）+g（x）=-2lg（1+x），则10f（x）=_，10g（x）=_.6已知函数 f（x）=alg（2-ax）（a0，且 a1）在其定义域0，1上单调递减，则实数 a 的取值范围是_7如图 2-4 所示，RtOAB 三个顶点的坐标分别为 O（0，0），A（1，0），B（1，2）在斜边 OB上任取一点 C（x，2x）（0x1），过 C 作 CDOA，CEAB，垂足分别为 D、E记OCD 的面积为S（x），矩形 CDAE 的面积为 S（x），BCE 的面积为 S（x），对于同一个 x，用 f（x）表示S（x）、S（x）、S（x）三者中的最大值当 C 点在线段
8、 OB 内运动时，f（x）的最小值为_.图 2-48（1）若函数（）满足（）（），则（）的图象关于直线（）2 对称； （2）若函数（）满足（）（），则（）的图象关于点（）2，0）中心对称 9已知函数 f（x）的定义域为 R，且对一切实数 x 满足 f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x）.（1）若 f（5）=9，求 f（-5）的值；（2）已知 x2，7时，f（x）=（x-2）.求当 x16，20时函数 g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出 g（x）的最大值和最小值10设函数0 （x=0），-（12）x （4k-1|x|24k-1，kZ）， f（x）=2x （24k-1|x|4k，kZ）.（1）求 f（x）的定义域；（2）y=f（x）的图象绕坐标原点旋转 2 后，得到 y=f（x）的图象，试求 y=f（x）的解析式；（3）对定义在实数集 R 上的函数 f（x），如果 y=f（x）的图象绕坐标原点旋转 2 后不变，试证明方程 f（x）=x 恰好有一个解
