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1、3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！【课课 题题】空间向量及其运算（空间向量及其运算（2）共线向量与共面向量【教学目标教学目标】1、掌握共线向量（或平行向量）的概念、向量与平面平行（共面）的意义、表示方法。2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3、会应用向量共线定理与共面定理处理三点共线与四点共面的一些简单问题；4、会应用向量的方法证明线线平行、线面平行，面面平行等问题。【教学重点教学重点】【教学难点教学难点】【教学过程教学过程】一、一、复习引入复习引入1、空间向量的概
2、念2、空间向量的运算3、平行六面体的概念二、二、讲解新课讲解新课（一）共线向量（一）共线向量1共线向量（平行向量）的概念如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于 b,记作 ab2共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 a=b。证明：（对学生可不必讲）（1）先证明存在唯一的实数，使ba /ba，所以两个向量在同一平面上，由平面向量共线的充要条件知，存在唯ba /ba,一的实数，使。ba（2）证明存在唯一的实数，使baba/ 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新
3、！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！a BAOP因为在空间任意两个向量都是共面的，所以向量在同一个平面内，由平面向ba ,量数乘的意义即知ba /推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知向量的直线，那么对任一点 O，点aP 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，满足等式OPOAt a其中向量叫做直线 l 的方向向量。a证明：al /对于 上任意一点 P，存在唯一的实数 t，满足：latAP 又对空间任意一点 O，有OAOPAPatOAOPatOAOP若在 上取，则有laAB ABtOAOP又OAOBAB()(1)OPOAt OBOAt OAtO
4、B 当时，点 P 是线段 AB 的中点，则 1 2t 1OP()2OAOB 或式都叫做空间直线的向量参数方程空间直线的向量参数方程，是线段 AB 的中点公式。它们与平面直线的向量参数方程和线段中点公式相同。注：（1）对 l 上任一点 P，满足式的实数 t 是唯一的；反过来，对一个实数 t，式在 l 上确定的 P 是唯一的，即直线 l 上的点和实数 t 是一一对应的。（2）依据曲线与方程的知识对于空间直线的向量参数方程式空间直线的向量参数方程式或式，它们确实是空间符合已知条件的直线的方程。（3）推论的用途：解决三点共线问题的表示或判定。【例例 1】 如图：在正方体 ABCD-ABCD中，G 为B
5、CD 的重心. 求证：A，G，C 三点共线. 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！GOCDBACDAB证明 1：22 1 33 2C GC OC DC B A 1 3 11 33 11 33 12 33,0C AA DC CCBC AC CA AADCBC AC CC CC AC CC CA A CBAD 所以，由共线向量的推论可知，A，G，C 三点共线.证明 2： 2A GA CC GCOOG 所以 A，G，C 三点共线.（二）共面向量（二）共面向量1、共面向量的概念：已知平面
6、 与向量，作，如果直线 OA 平行于平面 aOAa 或在 内，那么我们说向量平行于平面 ，记作。aaa通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。aaOA说明：空间任意两个向量总是共面的；空间任意三个向量不一定共面；空间四边形 ABCD 中、不共面。AB ACAD2、共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数abp ab对 x、y，使=x+yp ab证明：如果向量与向量、共面，p ab根据平面向量的基本定理，一定存在实数对 x、y，使=x+y；p ab3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教
7、学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！abOMABAP反之，如果存在实数对 x、y，使=x+y，p ab对空间任一点 M 作=，=，=x， MAaMBbMA a过点作=y,AA P b分别与共线，byax ,ba,都在确定的平面内。byax ,ba,又是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行byax | |,|byax四边形在确定的平面内ba,在确定的平面内，即与共面byaxPba,pba,推论推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x、y，使=x+y；或对空间任一点 O，有=+x+yMPMAMBOP OM MAMB对于空间任意一点 O，因
8、，代入=x+y整理即得式。OMOPMPMPMAMB又因为，代入式整理可得OMOAMAOMOBMB，即(1)OPxy OMxOAyOB (1)OPxOAyOBzOMxyz 其中可以证明平面 MAB 内，点 P 对应的实数对（x,y）是唯一的，式叫做平面 MAB的向量表达式。注：向量等式的性质：向量等式也有传递性；3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！向量等式两边加（减）相同的向量，仍得等式，即“移顶法则”仍成立；向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍得等式。向量等式两边同乘以
9、相等的数或点乘相等的向量，仍得等式。三、三、例题讲解例题讲解【例例 2】 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式(其中 x+y+z=1)的四点 P、A、B、C 是否共面。OAOBOCOPxyz 解：原式可变形为1OAOBOCOPyzyz OAOBOAOCOAOPyz APyABzAC 点 P 与 A、B、C 共面。【例例 3】 已知非零向量不共线，如果21e，e，2121213382eeAD，eeAC，eeAB求证：A、B、C、D 共面。证明：设121212()(8)(33 )0eeeeee 则0)38()32(21ee不共线，些 21,ee 038032上述方程有无
10、数多组解，而就是其中一解， 115于是可知50ABACAD 故三向量共面，所以 A、B、C、D 共面。ADACAB,注：共面向量定理的推论：如果存在不为零的实数 x，y，z，使得，0xaybzc则向量共面。, ,a b c 【例例 4】 已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量=k，=k,OE OAOF OB 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！=k,=k,求证：OGOC OHOD四点 E、F、G、H 共面；平面 EG平面 AC。证明 1：(1)因为四边形 AB
11、CD 是平行四边形，所以；ADABACOAkOCkOEOGEG)()(OAODOAOBkADABkACkEHEFOEOHOEOF所以 E、F、G、H 共面。证明 2：因为 A，B，C，D 四点共面，所以存在不全为零的实数 x，y，z 使得：OAxOByOCzOD 而OEkOAk xOByOCzODxkOBykOCzkODxOFxOGzOH 所以 E，F，G，H 四点共面注：以上两种证法就是证明三向量共面与证明四点共面的常用方法。（2），ABkOAOBkOEOFEF)(由（1）知，于是：，ACkEG ACEGABEF/,/所以ACEG平面平面/【例例 5】 求证：顺次连结空间四边形各边中点所得的
12、四边形为平行四边形。证明：因为 E、F、G、H 分别为各边的中点。所以；BDADBAAHEAEH21)(21CDCDBCCGFCFG21)(21所以，所以四边形 EFGH 为平行四边形FGEH 【例例 6】 三棱柱 ABC-ABC中，ABC 为正三角形，D 为 AC 的中点，求证：AB/平面CBD。证明 1：记，,ABa ACb AAc 则OABCDEFGHABCDEFGH3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！CBBD AAC1,2 1 2ABac DBABADabDCDCCCbcDBDCacAB 共面。,AB DB DC 因为,/BC BDABC BD平面平面证明 2：连，取的中点 E，连 ED，B CB C则，/B AED所以 AB/平面 CBD【例例 7】
