《2.5-与圆有关的比例线段-课件(人教A选修4-1)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2.5-与圆有关的比例线段-课件(人教A选修4-1)(25页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 1相交定理圆内的两条 ,被交点分成的两条线段长的 如图,弦AB与CD相交于P点,则PAPB .相交弦积相等PCPD2割线有关定理(1)割线定理:文字叙述:从圆外一点引圆的两条 ,这一点到每条割线与圆的 的 的积相等图形表示:如图,O的割线PAB与PCD,则有: .割线交点两条线段长PAPBPCPD(2)切割线定理:文字叙述:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 ;图形表示:如图,O的切线PA,切点为A,割线PBC,则有 .比例中项PA2PBPC3切线长定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 ,圆心和这一点的连线平分 的夹角(2)图形表示:如图:O
2、的切线PA、PB,则PA ,OPA .长相等两条切线PBOPB例1 如图,已知在O中,P是弦AB的中点,过点P作半径OA的垂线分别交O于C、D两点,垂足是点E.求证:PCPDAEAO.思路点拨 由相交弦定理知PCPDAPPB,又P为AB的中点,PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可证明 连接OP,P为AB的中点,OPAB,APPB.PEOA,AP2AEAO.PDPCPAPBAP2,PDPCAEAO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起,也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论1已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12 cm和16 cm两段,第二条弦的长为3
3、2 cm,求第二条弦被交点分成的两段长解:设第二条弦被交点分成的一段长为x cm,则另一段长为(32x) cm.由相交弦定理得:x(32x)1216,解得x8或24,故另一段长为32824或32248,所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和24 cm.证明: 例2 如图,AB是O的一条切线,切点为B,ADE,CFD,CGE都是O的割线,已知ACAB.证明:(1)ADAEAC2;(2)FGAC.思路点拨 (1)利用切割线定理;(2)证ADCACE.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题,有时切割线定理利用方程进行计算、求值等4如图
4、,PA切O于点A,割线PBC交O于点B,C,APC的角平分线分别与AB,AC相交于点D、E,求证:(1)ADAE;(2)AD2DBEC.证明:(1)因为AEDEPCC,ADEAPDPAB,PE是APC的角平分线,故EPCAPD,因为PA是O的切线,故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.运用切线长定理时,注意分析其中的等量关系,即切线长相等,圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角,然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明5 两个等圆O与O外切,过O作O的两条切线 OA、OB,A、B是切点,则AOB ( )A90 B60C45 D30答案:B6. 已知:如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 O分别相切于L、M、N、P.求证:ADBCABCD.证明:由圆的切线长定理得 CMCN,BLBM,APAL,DPDN,ABALLB,BCBMMC,CDCNND,ADAPPD,ADBC(APPD)(BMMC)(ALND)(BLCN)(ALBL)(NDCN)ABCD,即ADBCABCD.点击下图进入应用创新演练