数学建模课堂部分例题分析

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1、为什么要用三级火箭来发射人造卫星 为什么不能用一级火箭,而必须用多级火箭来发射人造卫星? 为什么一般都采用三级火箭系统？（1）卫星能在轨道上运动的最低速度 为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动；（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。假设：分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: 在地面有得故R为地球半径，约 为6400公里 卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力，故：从而（2）火箭推进力及速度的分析 假设：不计外力分析：记火箭在时刻 t 的质量和速度分别为m(t) 和(t) ，有记火

2、箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理：得由此解得：0和m0一定的情况下，火 箭速度(t)由喷发速度u 及质量比决定。 （3）火箭推进力及速度的分析现将火箭卫星系统的质量分成三部分：（i）mp（有效负载，如卫星）（ii）mf（燃料质量）（iii）mS（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为 mP+mS,初始速度为0，所以末速度：一般地为常数则末速度为特别地，当mP=0时（4）理想火箭模型假设：记结构质量 mS 在 mS+mf 中占的比例为，假设火箭能 随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以与（1）的 比例同时减少。理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时

3、，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP 所以最终速度为：由动量守恒得得-只要m0足够大，我们可以 使卫星达到我们希望它具 有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估 计（按比例的粗略估计）发射卫星 要使=10.5公里/秒才行，则可推算 出m0/ mp约为50,即发射一吨重的卫 星大约需要50吨重的理想火箭 （5）理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立 即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火 箭的质量，mP表示有效负载。考虑二级火箭. 先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的,即i级火箭中mi为结构质 量,（1）mi为

4、燃料质量。（ii）设m1=k(m2+mP)，m2=kmP当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍 设u=3公里/秒，且为计算方便，近似取=0.1，则可得 要使2=10.5公里/秒，则应使: 即k11.2，而: 类似地，可以推算出三级火箭： 在同样假设下: 要使3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（ m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三级火箭比二级火箭 几乎省了一半是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四 级、五级等火箭进行讨论。 由于工艺的复杂性及

5、每节火箭都需配备一个推进器， 所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭 提供了一个最好的方案。 当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制 作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下若mP等于1吨，可以计算出相应的m0的值， 见下表考虑n级火箭：n（级级数）1 2 3 4 5 （理想）火箭质量（吨）/ 149 77 65 60 50（6）火箭结构的优化设计前面假设(ii)有点强加的味道。现去掉 该假设，在各级火箭具有相同的粗糙假 设下，来讨论火箭结构的最优设计。 记：则等价于的条件极值。利用Lagrange乘子法，设Lagra

6、nge函数求导得：由对称性我们知道这3个数相等时v/u最大。火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！SARS的建模和预测SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。 SARS从2002年11月份开始在我国和世界范围内流行， 到2003年6月23日为止，世界卫生组织(WHO)报道的 SARS患者已经达到了8459人，其中802人死亡。中国是SARS流行的重灾区，到2003年6月23日为止 的SARS患者为5326人，其中347人死亡。给人民生活 和国民经济的发展带来了巨大的影响。是由一种冠状病毒引起的传染性很强 的呼吸道传染病，它主要通过近距离空

7、气飞沫以 及接触病人呼吸道分泌物和密切接触进行传播， 也可能通过病人飞沫污染物、如通过手、衣物、 食物、水或环境等途径传播。潜伏期一 般为2-11天，在潜伏期无感染 。SARS患者的主要 症状有：发热（体温38以上）为首发症状，多 为高热，并可持续1-2周以上，可伴有寒战或其他 症状，包括头痛、全身酸痛和不适、乏力，部分 病人在早期也会有轻度的呼吸道症状(如咳嗽、咽 痛等）。 SARS患者治愈后不会再被感染。假设：1）单位时间感染的人数与现有的感染者成比例；2）单位时间内治愈的人数与现有的感染者成比例；3）单位时间内死亡的感染者与现有感染者成比例；4）SARS患者治愈恢复后不再被感染；5）各类

8、人口的自然死亡可以忽略；6）忽略迁移的影响。模型令I(t)是第t天时SARS感染者的数量， 则I(t+1)=I(t)+ b(t)I(t)-d(t)+c(t)I(t),b(t)为感染率，d(t)为死亡率，c(t)为治愈率。 模型简化为I(t+1)=I(t)+ r(t)I(t)只要知道开始时SARS的感染人数和r(t)，就可以 利用该模型进行预测。r(t)的估计r(t)=I(t+1)-I(t)/I(t)利用实际数据计算，再进行曲线拟合建立了SARS在我国的传播模型，进行了理论研究并研制了预测与控制分析软件，于2003年5月21日向新闻媒体发布了我们的研究结果，预测按世界卫生组织(WHO)的标准，我

9、国将于2003年6月下旬解除旅游警告。届时全国感染者数量累计6000人左右。与后来的实际情况吻合良好。我们还对不同隔离强度的影响作了具体研究。建模思路与确定参数的反推法为今后的研究提供了新思路。 SARS传播过程的成功预测 评价与反响媒体关于我们对SARS研究情况的报道(2003年5月下旬):报纸: 人民日报、北京日报、中国青年报、文汇报、科技日报、科学时报等 网站: 东方网、人民网、中国信息网、科报网等100多个网站 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要的精炼、简

10、化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构, 即建立 数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也 应当借助 计算机 求出数值 解。 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤实体信 息(数据)假设建模求解验证应用在不同的理解和假设下可以建立不同的 模型，得到不同的结果，但是，不同的假 设都应该有一定的合理性，不同的模型都 应该在不同的侧面反映实际问题的特征， 不同的结果都应该在不同的程度上反映客 观事物的变化规律。用一些有趣的例子说明数学的应用逐渐学会用数学语言翻译实际问题培养学习的兴趣和主

11、动性流言蜚语的传播问题假设在某地区的总人口为N，在短期内不变， x(t)表示知道消息的人数所占的百分比，初始 时刻的百分比为x0AM,所以当C与 P重合时最短。由此求得P点的坐标为动物体重的变化问题某动物从食物中每天得到2500卡的热量，其中 1200卡用于基本的新陈代谢，每天每公斤的体重 需要再消耗16卡。假如它每增加1公斤体重需要 10000卡的热量。问该动物的体重怎样变化?解1. 离散模型设该动物的原始体重为w(0)kg, 每天剩余 的热量全部转化为体重，由题目可设1卡热 量可增加1/10000kg体重。w(n)为第n天的 体重。（n=1）可得关系式w(n)=w(n-1)(2500-12

12、0016w(n-1)/10000递推得另外一种整理方法 w(n+1)-w(n)=(1- )(w(n)-w(n-1)令 c(n)=w(n)-w(n-1)则c(n)为以(1 - )为公比的等比数列c(n)= (1- ) c(n-1)= c(1)利用Matlab画出不同初始值的图形如下 解2. 连续模型设该动物t时刻的体重为x(t)，原始体重为x(0)kg, 每天剩余的热量全部转化为体重，由题意得 整理后得求解得 极限情况 问题的推广 每天得到的热量和基本的新陈代谢热量依赖于体重的变化； 每天每公斤的体重需要再消耗； 每天热量的变化与体重有关; 每天基本热量的消耗与体重有关; 每天单位体重消耗的热量

13、与年龄有关；崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。记崖高为h 假定空气阻力不计，可以利用自由落体运动的公式来计算 。我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 简单想法简单想法例如， 设测得时间为t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h 78.5 (米)进一步考虑进一步考虑除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气 阻力。根据力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落 的速度，阻力系数 r 为常数

14、。由牛顿第二定律可得：令k=r/m，解得 (1)若设k=0.05,并仍设 t=4秒，则可求得h 73.6米。 令k 0 + ，即可得出前面 不考虑空气阻力时的结果听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间。深入考虑深入考虑假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒， 代入式(1)求得h69.9（米）多测几次，取平均值不妨设平均反应时间为0.1秒。进一步深入考虑进一步深入考虑为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的 时间记为t2，得一个方程组： 这一方程组是 非线性的，求 解不容易。为了估算崖高 竟要去解一个 非线性方程组 似乎不合情理 声音传回需时间相对于石块速度，声音速度要快

15、得多，我们 可用前一方法先求一次 h，再由声速公式得 t2=h/340，和t=t1+ t2 校正t。近似求解仍设扣除反应时间后为t= 3.9秒，代入式(1)求得h69.9（米）则回声传回时间为t2 =h/340 0.21（秒）故 t1 =t-t2 3.69求得 h62.3 （米）包饺子问题通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个饺子 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了0.4公斤，问：是否可以多包几个（小一些），或少包几个（大一些 ）将这些馅仍用1公斤面包完？多包：皮小一些；少包：皮大一些。面积 体积问题面积为S的一个皮，包成体积为V的饺子。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。V和 nv 哪个大?SsssVvvv(共n个)定性分析V比 nv大或小多少?定量分析假设1. 皮的厚度一样2. 饺子的形状一样模型应用若100个饺子包1公斤馅,则50个饺子可以包 公斤馅R 大皮 的半径；r 小皮的半径V是 nv的 倍1.4