梅涅劳斯定理

《梅涅劳斯定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《梅涅劳斯定理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、共线点共线点 三三点点共共线线的的意意思思 ：三点在同一条直线上。 证证明明方方法法： 方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 。代入第三点坐 标 看是否满足该解析式 方法二：设三点为。利用向量证明：a 倍 = （其中CBA、ABAC a 为非零实数）。 方法三：利用点差法求出 AB 斜率和 AC 斜率，相等即三点共线。 方法四: 证三次两点一线 (误，两点必然共线 )。 方法五:用梅涅劳斯定理。 方法六：利用几何中的公理 “如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ”可知：如果三点同属于两个相 交的平面则三点共线。 方法七：运用公（定）理 “过直线外

2、一点有且只有一条直线与已知直 线平行（垂直） ”。其实就是同一法。 方法八：证明其夹角为 180 方法九：设 ，证明面积为 0。CBA、ABC例 1证明：三角形外接圆上任一点在三边（或所在直线） 上的射影共线。证明：如图 1-1,外接圆上一点到ABCP 的射影分别为。ACBCAB、GFE、证明：.,ACPGBCPFBAPE及四点共圆FPEB、PFGC、EFPEBP 又ACPEBP EFPGCP 易知点三点共线。GFE、 （此三点所在直线称西莫松 simson 线）例 2.证明：三角形一顶点在其他两角内外平分线上的射影是共线的四点。 如图 1-2，假设在中，和是ABCADAE 的内外角平分线，其

3、中和表示顶点在它ADEC 们上的射影，和是的内外角平分线，BFBGB 其中和表示顶点在它们上的射影，求证：FGC 四点共线。DEFG证明：连直线和，以表示DEFGML、 CABC、 的中点，易见四边形为矩形，所以，ADCEGF CBAPEMLGFEDCBA图 1-1一方面通过的中点，另一方面又有DEACM DABMADMDA 即直线与重合。DEABDELM 同理，直线也与重合，FGLM 故四点都在直线上，共线。GFED、LM练习题 1证明：梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共 线。 证明：如图 1-3，梯形,点为两腰与ABCDEBACD 的交点，为对角线与的交点。连结OBDAC

4、EO 分别交于于。ADBCNM、 先过点作且与、相交于。OPQADABDCQP、易知BCOQ DCDQ ABAP BCPOOQPO 故MDAMOQMD EOEM POAM同理：CNBN 则分别是与的中点，NM、ADBC故共线。EMON、练习题 2.如图 1-4，分别以德两边、为边向外作正方形ABCABAC ,再以为斜边向的同侧做等腰,求证：ACFGABDE和BCABCMBCRt 三点共线。FMD、证明：分别过点向作垂线，垂足分FMD、BC 别为TQP、要证明共线，只需证FMD、 ,BCMTFQDP2再过,HBCA垂线，垂足是作易知COFAHCBHADPB,BCCHBHFQDP练习题 3.如图

5、1-5，圆内接为不等边三角形，过点分别作圆的ABCCBA、 切线依次交直线于，求证:三点共线。ABCABC、CBA、CBA、证明：，易知cABbCAaBC,记BCCSACCS BCAC 又易证,CACBCC图 1-2OQPNMADBCE图 1-3HTQPGFDEABCM图 1-4则，同理 222 ab CBAC BCCSACCS 同理，2222, ca ABCB bc CABA故，1 222222 ca bc ab ABCB CABA BCAC由梅涅劳斯定理的逆定理，知 三点共线。CBA、练习题 4.如图 1-6，以锐角的一边为直径作圆，过点作圆的两ABCBCOAO 条切线，切点为，点是的垂心

6、.求证：三点共线。NM、HABCNHM、 证明：射线交于，显然为高。AHBCDAD 记与的交点为，易知三点共ABO圆EEHC、 线。 连接，NHMHDNDMONOM、 易知，90ADOANOAMO 五点共圆，NDOMA、 更有四点共圆，NDMA、 此时,180ANDAMD （四点ADAHABAEAM2EHDB、 共圆） ，即；又，所以AMAD AHAMDAMMAH，故AMHADMAMDAHM 同理，。ANDAHN 因为，所以三点共线。180ANDAMDAHNAHMNHM、练习题 5.如图 1-7，延长凸四边形的边交于点，延长边ABCDDCAB、E 交于点，又分别是的中点，求证：BCAD、FLN

7、M、EFBDAC、 三点共线。LNM、 证明：设的中点为，辅助线如图所示，BCO由可知，DEONAEOM/,/点必在内，此时，OEMN ONESOMESOMNSEMNS BCNSBMNSONCSOMBSOMNS DMCSBMCSBCDSBMDS21 21ABCDSADCSABCS四边形41 21 21CBAABC图 1-5DHEABOCMN图 1-6LEFONM ABDC图 1-7同理,。ABCDSFMNS四边形41因此。此时，直线平分，即三点共线。FMNSEMNSMNEFLNM、梅涅劳斯（梅涅劳斯（MenelausMenelaus）定理）定理 梅涅劳斯（Menelaus） （简称梅氏定理）定

8、理是由古希腊数学家梅涅劳斯首 先证明的。 数学意义： 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理 还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学 以及射影几何学 中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶 定理是赛瓦定理。一，梅涅劳斯定理：设的三边（或所在直线）被一直线分ABCABCABC、别截于点，则。ZYX、1YACY XCBX ZBAZ证明： （证法一）如图 2-1 过点作直线与截线平行，交直线于，则CCDXYZABD在中，有 ADCYCAY ZDAZ在中, 有 BXZXBXC ZBZD得: XBXC YCAY ZBZD ZDAZ故 得证。

9、1YACY XCBX ZBAZ（证法二）如图 2-21 AZYSXCYS XCYSBZXS BZXSAZYS即：1sinsin sinsin BZXsinZXBZAZYsin AYZZYAYCYXXYCY YXCXYXCBXZZXBXZYAZ180BZXAZXYXCBXZAYZCYXBZXAZXsinsinAYZCYXYXCBXZ sinsinsinsin整理式可得： 1YACY XCBX ZBAZ图 2-1ZDYXBACZ YXBAC得证。（证法三）如图 2-3 作,垂足分别为，RXAQ RXBR RXCP PRQ、则有, ,AQZBRZBXZCXYAQYCPY1AQCP CPBR BRAQ

10、 YACY XCBX ZBAZ得证。二，逆定理：设在三边（或所在直线）ABC 上各取一点满足关系ABCABC、ZYX、，则此三点共线。1YACY XCBX ZBAZ证明：（同一法）如图 2-4连接交于，XZACY由梅涅劳斯定理知：1AYCY XCBX ZBAZ又1YACY XCBX ZBAZAYCY YACY 由于在同一直线上的三点中，位于边上的点的个数为 0ZYX、 ABC 或 2，所以和或者同在线段上，或者同在的延长线上；YYACAC 若和或者同在线段上，则和必定重合，YYACYY 不然的话,设,这时，AYAY AYABAYAB于是可得： ，与矛盾。AYCY YACY AYCY YACY

11、类似地可证当和同在延长线上时,和也重合。YYACYY综上所述：三点共线。ZYX、例 1.设四边形两双对边相交于，如图 2-5，证明的ABCDFE、EFBDAC、 中点共线。 证明：设分别是的中点，ZYX、EFBDAC、 在ABE 中，取及的中点，EABE、ABNML、易知：直线且通过MNEBX直线且通过NLAEY直线且通过LMBAZ又 , , CBEC XNMXDEAD YLNYFABF ZMLZ而三点共线，可知DCF、FABF DEAD CBEC ZMLZ YLNY XNMX图 2-2YZPQRBAXC图 2-3NMLYXZBEDFCAZYXBACY图 2-4图 2-51DEAD FABF

12、CBEC由梅涅劳斯定理知三点共线。ZYX、例 2证明：三角形外接圆上任一点在三边（或所在直线）上的射影共线。证明：如图 2-6,外接圆上一点到的射影分别为ABCPACBCAB、 。GFE、 证法一（梅涅劳斯定理）：连结PCPBPA、PCBCPPBCBP CFBF CPFSBPFS sinsinPACAPPCACP AGCG APGSCPGS sinsinPBAPBPABAP BEAE BPESAPES sinsin 180, PBAPCBPCBPABPACPBCPBAPCBPCBPABPACPBC sinsin,sinsin,sinsin将得：1BEAE AGCG CFBF由梅涅劳斯定理可知三

13、点共线。GFE、练习题 1.如图 2-7，在一条直线 上取点，lECA、 在另一条直线上取点，记直线和,和， lBFD、ABEDCDAFEF 和的交点依次为，证明：点共线。BCNML、NML、 证明：记直线和，和，和的交点，EFCDEFABABCDWVU、 对，线段、UVWDLEAMFBNC 、分别与ACEBFDUVW 三边或其所在直线交于三点， 由梅涅劳斯定理有：, 1UDWD WLVL VEUE1YMWM VFUF WAVA, ,1WBVB UCWC VNUN1UEVE WCUC VAWA。1UFVF WDUD VBWB将上面五个式子相乘可得：,1UMWM WLVL VNUN由梅涅劳斯逆定

14、理知：点共线。NML、图 2-6GF CBAPEllMWVNLACEDFBU图 2-7练习题 2.如图 2-8，从引四条直线，另外两条直线分别交这四条直线于K和，试证：ABCDDCBA:DBDA CBCA BDAD BCAC证明：1)若，结论显然成立；ADDA2)若与相交于点，则把梅涅劳ADDAL 斯定理分别用于和可得：ALABLB, 1 AKKA DALD LDAD1 LCCA KAAK ACLC, 1 BKKB CBLC LCBC1 LDDB KBBK BDLD将上面四个式子相乘可得：1 CBDB DACA BDBC ACAD即：:DBDA CBCA BDAD BCAC练习题 4证明：梯形上下底中点，两对角线交点，两腰（所在直线）交点共 线。 证明： 证明：（梅涅劳斯定理） 如图 2-9，梯形， 点为两腰与ABCDEBACD 的交点，为对角线与的交点。OBDACNM、 分别为中点。BCAD、 在中，连接