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1、数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计专题专题3 3：特殊函数的可视化：特殊函数的可视化数学物理建模与计算机辅助设计Page 2本专题主要内容与参考资料本专题主要内容与参考资料 主要内容主要内容 MATLABMATLAB涉及的特殊函数涉及的特殊函数 函数函数(Gamma(Gamma函数函数) ) 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 球函数球函数 贝塞尔函数贝塞尔函数 参考资料参考资料 杨华军杨华军, , 数学物理方法数学物理方法, , 电子工业出版社电子工业出版社 彭芳麟彭芳麟, , 数学物理方程的数学物理方程的MATLABMATLAB解法与可视化解
2、法与可视化, , 清华大学清华大学 出版社出版社数学物理建模与计算机辅助设计Page 3MATLABMATLAB涉及的特殊函数涉及的特殊函数 查看方法查看方法-MATLAB-MATLAB中特殊函数的调用中特殊函数的调用 在命令窗口输入在命令窗口输入 help matlabspecfunhelp matlabspecfun airy airy- Airy functions. - Airy functions. 爱里函数爱里函数 besselj - 1st kind Bessel function. besselj - 1st kind Bessel function. 第一类贝塞尔函数第一类贝
3、塞尔函数 bessely - 2nd kind Bessel function . bessely - 2nd kind Bessel function . 第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数） besselh - 3rd kind Bessel functions . besselh - 3rd kind Bessel functions . 第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）第三类贝塞尔函数（汉开尔函数） besseli - 1st kind besseli - 1st kind modified Bessel function. modified Bessel fun
4、ction. 第一类虚宗量贝塞尔函数第一类虚宗量贝塞尔函数 besselk - 2nd kind Modified Bessel function . besselk - 2nd kind Modified Bessel function . 第二类虚宗量贝塞尔函数第二类虚宗量贝塞尔函数 beta beta- Beta function. - Beta function. Beta Beta函数函数 betainc - Incomplete beta function. betainc - Incomplete beta function. 不完全的不完全的BetaBeta函数函数 betal
5、n - Logarithm of beta function. betaln - Logarithm of beta function. BetaBeta函数的对数函数的对数 ellipj ellipj - Jacobi elliptic functions. - Jacobi elliptic functions. 雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数 ellipke - Complete elliptic integral. ellipke - Complete elliptic integral. 完全的椭圆积分完全的椭圆积分数学物理建模与计算机辅助设计Page 4MATLABMATLAB涉及的
6、特殊函数涉及的特殊函数 erf erf - Error function. - Error function. 误差函数误差函数 erfc erfc - Complementary error function. - Complementary error function. 余误差函数余误差函数 erfcx - Scaled complementary error function. erfcx - Scaled complementary error function. 标度的余误差函数标度的余误差函数 erfinv - Inverse error function. erfinv - I
7、nverse error function. 逆误差函数逆误差函数 expint - Exponential integral function. expint - Exponential integral function. 指数积分函数指数积分函数 gamma - Gamma function. gamma - Gamma function. 函数函数 gammainc - Incomplete gamma function. gammainc - Incomplete gamma function. 不完全的不完全的 函数函数 gammaln - Logarithm of gamma f
8、unction. gammaln - Logarithm of gamma function. 函数的对数函数的对数 psi psi - Psi (polygamma) function. - Psi (polygamma) function. 双双( (多值多值) ) 函数函数 legendre - Associated Legendre function. legendre - Associated Legendre function. 连带勒让德函数连带勒让德函数数学物理建模与计算机辅助设计Page 5 函数函数( (GammaGamma函数函数) ) 函数函数的定的定义义义义 函数函数
9、的性的性质质质质：（3 3） (z)(z)在整个复平面上除去在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,z=0,z=-1,z=-2,之外之外处处处处处处处处 解析解析 。（1 1 ） （2 2 ）（4 4） (z)(z)在全平面内无零点，即在全平面内无零点，即 。数学物理建模与计算机辅助设计Page 6 函数函数( (GammaGamma函数函数) ) 函数函数的的图图图图形的形的绘绘绘绘制制x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,linewidth,4);grid onaxis (-3 3 -5 5) (x)(x)的的奇点奇点分布：分布： z=0,z=-1,x=-2
10、,z=0,z=-1,x=-2,数学物理建模与计算机辅助设计Page 7 函数函数( (GammaGamma函数函数) ) 如何绘制复变量如何绘制复变量(z)(z)函数图形函数图形? ?z=5*cplxgrid(30); z=5*cplxgrid(30); f=mfun(gamma,z);f=mfun(gamma,z); cplxmap(z,f);cplxmap(z,f); view(60, 30)view(60, 30) axis(-5 5 -5 5 -10 10)axis(-5 5 -5 5 -10 10)%mfunmfun是数学软件是数学软件MAPLEMAPLE中的函数，中的函数，是对经典
11、的特殊函数求值是对经典的特殊函数求值数学物理建模与计算机辅助设计勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数问题来由：问题来由：球域内球域内LaplaceLaplace方程的边值问题：方程的边值问题：数学物理建模与计算机辅助设计分解分解为为为为两个两个常微分常微分方程方程: :(1)(1)(2) (2)球函数方程球函数方程方程（方程（2 2） 进进进进一步分离一步分离变变变变量将得到关于量将得到关于 的本征的本征值值值值方程（方程（3 3） 和关于和关于 的的连带连带连带连带 勒勒让让让让德方程德方程（4 4）：）：变变 量量 分分 离离R(r)R(r) ：数学物理建模与计算机
12、辅助设计满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解: : ：数学物理建模与计算机辅助设计 (cos(cos-1-1x x)=)=y y( (x x) ) ：即：即： x x=cos=cos l l阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程连带勒让德多项式连带勒让德多项式勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数数学物理建模与计算机辅助设计Page 12勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数：函数：连带勒让德连带勒让德(Legendre)(Leg
13、endre)函数：函数：数学物理建模与计算机辅助设计Page 13勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 求勒让德求勒让德(Legendre)(Legendre)函数的函数的MatlabMatlab函数函数 legendre(N,x)legendre(N,x) 求所有求所有N N阶阶连带连带勒让德函数的值勒让德函数的值legendre(2,0.0:0.1:0.2)legendre(2,0.0:0.1:0.2) ans = -0.5000 -0.4850 -0.4400ans = -0.5000 -0.4850 -0.44000 -0.2985 -0.5879 0 -0.2985 -0.58793.0000 2.9700 2.8800 3.0000 2.9700 2.8800数学物理建模与计算机辅助设计Page 14勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 绘制前绘制前6 6个勒让德个勒让德(Legendre)(Legendre)函数的图形函数的图形%P20_1.m%P20_1.m x=0:0.01:1;x=0:0.01:1; y1=legendre(1,x);y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x);y2=legendre(2,x); y3=
