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1、理论力学电子教程 第四章 空间力系 第四章 空间力系 第一节 空间汇交力系 第二节 力对点之矩与力对轴之矩 第三节 空间力偶理论 第五节 空间任意力系的问题 第三节 空间任意力系向已知点的简化 第六节 重心 平行力系中心 理论力学电子教程 第四章 空间力系 空间力系： 各力的作用线不在同一平面内的力系。可 分为 空间汇交力系 ， 空间力偶系 ， 空间任意力系 。 其研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于各力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概念、理论和方法要作推广和引伸。 现研究空间力沿坐标轴的分解和投影。 第一节 空间汇交力系 一、空间力沿坐标轴的分解与投影 理论力学电子教程 第四
2、章 空间力系 分解 x y z c o s,c o s,c o s 二次投影法 s i nc o s,c o sc o s s z 即 222理论力学电子教程 第四章 空间力系 c o s,/c o s,/c o s 若用单位矢量，则力 注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投 影是矢量。 i + j + Fz k 理论力学电子教程 第四章 空间力系 x y z 1 12c b a 长方体长 a b c 其上 作用力 F 80N，方向如图所示，试分别计算 ：（ 1）力 F在 x、 y、 2 ) 力 轴上的投影。 1论力学电子教程 第四章 空间力系 222c os 设力 轴之间的夹角为 ，
3、则 1z z 648054c o s 222 221 解法一 一次投影法 222c os 222c o s 理论力学电子教程 第四章 空间力系 解法二 二次投影法 设力 ，则得力 F在 22222c o 于是有 40c o s 22222 22 32s 2222 22 z 224s 22 理论力学电子教程 第四章 空间力系 由于 轴垂直于 y 轴，所以根据合力投影定理可得 1c o sc o 2222222222 422222 22 理论力学电子教程 第四章 空间力系 这里只介绍解析法。 空间的合力投影定理 (合成 )。 则合力 合力在某一轴上的投影，等于力系中所有各力在同一轴上的投影的代数和
4、 各分力 i iR y z 1x i+j +Fz k 二、 空间汇交力系的合成与平衡 理论力学电子教程 第四章 空间力系 平衡的必要与充分条件： 该力系的合力为零。 空间汇交力系的平衡方程 ,0,0,0 (1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力 系也平衡。 (2) 投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不 平行。 222222 )()()( c 第四章 空间力系 图示一起重三角架， 各长 D 点铰接，并以铰链固定在地面上，求每一杆所受的力， 各杆重不计。已知 P=20 ， O= 90,150,120 321 x z y D A B C 例 4论力学电子教程 第四章 空间力系 【
5、 解 】 作受力图 。 0c o o sc o s,0 21 i ns i ns i n,00c i nc 3213121 理论力学电子教程 第四章 空间力系 力对于任一点之矩等于矩心至力的作用点的矢径与该力的矢积 ,称为 力对于点之矩的矢积表达式 。 F )M 力对于任一轴之矩， 等于力在垂直于该 轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩 。 (1)当力的作用线与轴平行或相交时 ,力对于该轴之矩等于零； 第二节 力对点之矩与力对轴之矩 1. 相对于点的矢量表示 )( )(0理论力学电子教程 第四章 空间力系 ()(c o s)( 应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式。 y z )(
6、z yx z )( y zz y )( y z)( 0其中 : FF 点的轴之矩间的关系 力矩关系定理 :力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对于该轴之矩。 (2)当力沿其作用线移动时 ,它支于轴之矩不变。 力对轴之矩的合力矩定理 :合力对于任一轴之矩等于各分力对于同一轴之矩的代数和。 理论力学电子教程 第四章 空间力系 平行平面间的力偶的等效条件： 作用面平行的两个力偶，若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效 。 1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念 同平面内力偶等效条件： 两力偶矩的代数值相等。 但分别作用在不平行平面内的两个力偶对于刚体的效应是不同的 空间力偶的三要素
7、： 大小、转向和作用面的位置。 第三节 空间力偶理论 理论力学电子教程 第四章 空间力系 2、空间力偶系的合成与平衡 . n21力偶矩矢是一矢量 。 空间力偶的等效定理 ： 凡矩矢相等的力偶均为等效力偶。 空间力偶系可合成为一合力偶 ,则该合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。 理论力学电子教程 第四章 空间力系 空间力偶系平衡的必要与充分条件是 :该力偶系中所有的各力偶矩矢的矢量和为零 。 0 ,0,0,0 第四章 空间力系 简化理论依据是 : 力线平移定理。 空间力系中，应把力对于点之矩与力偶矩用矢量表示。 力线平移定理 :作用于刚体上的任一力 ,可平移至刚体的任意一点 ,欲不改变
8、该力对于刚体的作用 ,则必须在该力与指定点所决定的平面内加一力偶 ,其力偶矩矢等于力对于指定点之矩矢 . 第四节 空间任意力系的简化 o d o A )( 0F A 理论力学电子教程 第四章 空间力系 00 o )(空间任意力系向任一点简化的结果。 一般可得到一力和一力偶，该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该 力偶 的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩 。 y z 1y z 2 y 力学电子教程 第四章 空间力系 , 222 )F()F()F(F xyFc o s,o s,o s 若取坐标原点为简化中心 ,则有 :将主矢 及各力 2、 均投影在三坐标轴上则 间力系的主矢与简化中心的位置
9、无关，而矩的一般将随着简化中心的位置不同而改变 。 理论力学电子教程 第四章 空间力系 同样，将 F） 均投影在同一坐标轴上，并应用力矩关系定理，则得 )(M)(M FM 0)(M)(M FM y 0)(M)(M FM z 0 222 )(M)(M)(M(M 第四章 空间力系 0x M)(Mc o s F 0y M)( F0z M)( F空间任意力系简化结果的分析 ,)( 00 004,)( 00 005 ,)( 006 0 (过简化中心 ) (合成为一力 ) (力螺旋 ) (成任意角 ) 空间系的合力矩定理 若空间任意力系可以合成为一个合力时 ,则其合力对于任一点或轴之矩等于力系中各力对于同
10、一点或轴之矩的矢量和或代数和 ,这即为空间力系合力矩定理。 ,)( 002 0 ,)( 001 0 ,)( 003 0 理论力学电子教程 第四章 空间力系 空间力系向一点简化后为： 一个力 和 一个力偶。 故空间力系平衡的必要条件是力系的主矢及主矩都等于零，即 0 000 )( 222 )F()F()F(F (M)(M)(MM 这是空间力系的平衡方程。 第五节 空间任意力系的问题 理论力学电子教程 第四章 空间力系 空间任意力系平衡的必要与充分条件 :力系中所有各力 在任意相互垂直的三个坐标轴上之投影的代数和等于零， 以及力系对于这三个轴之矩的代数和分别等于零。 (1) 空间汇交力系 . 000 ,F,F(2) 空间平行力系 取坐标轴 ,)(M,)(M,F 00 ,F,F,F 00 ,)(M,)(M,)(M 00 第四章 空间力系 取力系的作用面为 000 )(M,F,F 在求解空间力系问题时要注意几
