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1、2018 年武汉大学自主招生数学试题1. 对于数列 un，若存在常数 M 0，对任意的 n N+，恒有|un+1 un| + |un un1| + + |u2 u1| M,则称数列 un 为 B 数列.（I）首项为 1，公比为 q (|q| b 0) 的左，右焦点，A,B 是椭圆 E 的左，右顶点，D(1,0) 为线段 OF2的中点，且 AF2+ 5 BF2= 0 .（I）求椭圆 E 的方程；（II）若 M 为椭圆 E 上的动点（异与点 A,B） ，连接 MF1并延长交椭圆 E 于点 N，连接 MD.ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P,Q，连接 PQ. 设直线 MN、PQ 的斜率存在且分别为
2、 k1,k2, 试问是否存在常数 ，使得 k1+ k2= 0 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.3. 已知函数f (x) = lnx ax +a x, 其中 a 为常数.（I）若 f (x) 的图像在 x = 1 处的切线经过点 (3,4)，求 a 的值；（II）若 0 0；（III）当函数 f (x) 存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围.4. 设 x,y,z 为非负实数，满足 xy + yz + zx = 1, 证明：1 x + y+1 y + z+1 z + x5 2.5. 设 f (x) 是定义在区间 (1,+) 上的函数，其导函数为 f(x), 如果存在实数 a 和函数 h(x), 其中h(x) 对任意的 x (1,+) 都有 h(x) 0, 使得 f(x) = h(x)(x2 ax + 1), 则称函数 f (x) 具有性质P (a).（I）设函数f (x) = lnx +b + 2 x + 1(x 1),其中 b 为常数，1 求证：函数 f (x) 具有性质 P (a)；第 I 页（共 IV 页）2 求函数 f (x) 的单调区间；（II）已知函数 g (x) 具有性质 P (2)，给定 x1,x2 (1,+),x1 1, 1, 若 |g () g ()| |g (x1) g (x2)|, 求 m 的取值范围.第 II 页（共 IV 页）
