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1、1第二章 计算机网络建模理论上章回顾上章回顾网络设计与优化非常重要网络设计、资源分配与流量控制需要计算机网 络理论分析业务的随机性是造成网络拥塞及性能恶化的主 要原因计算机网络性能分析需要建立概率模型2一个典型的计算机网络一个典型的计算机网络3一个典型的排队模型一个典型的排队模型4本章主要内容本章主要内容(1/2)(1/2) 2.1 计算机网络建模的对象与原则 2.2 通信业务源的概率模型化 2.2.1 随机事件的概率特征量及物理意义 2.2.2 典型概率分布及随机过程 2.2.3 纯随机事件的概率模型 2.2.4 平滑事件的概率模型 2.2.5 突发事件的概率模型 2.2.6 业务源概率模型
2、参数的匹配5本章主要内容本章主要内容 2.3 实际业务源的建模思考 2.4 计算机网络的排队模型化 2.4.2 计算机网络的排队网络模型 2.4.1 通信处理单接点的排队模型 2.4.3 排队过程的马尔可夫过程描述 2.5 典型计算机网络的建模 2.5.1 电路交换网 2.5.2 移动通信网 2.5.3 分组交换网 2.5.4 ATM网 2.6 小结6网络系统的建模对象网络系统的建模对象（1）网络结构(Structure) （2）网络控制机制(Strategy) （3）业务量特性、尤其是随机性(Traffic)MANMANStochasticMACHINEMACHINEDeterministi
3、cTrafficTrafficUser demandsStructureStructureHardwareStrategyStrategySoftware72.1 2.1 计算机网络建模的基本准则计算机网络建模的基本准则 真实性(real and precise) 尽量精确地描述实际业务的概率特征 可操作性(implementable) 要易于进行数学分析或计算机仿真 通用性(unified) 同时能描述多种不同业务的概率特征 可匹配性(matchable) 模型参数应能容易地从实际业务中拟合出来 保守性(conservative) 近似计算或仿真得到的网络性能应不劣于实际网 络性能（安全近似
4、，做最坏的打算）82.2 2.2 业务源的概率模型化业务源的概率模型化 计算机网络性能分析需要概率模型业务需求的产生是随机的、而且往往是突发的业务所需要的服务时间也是随机的有时甚至可得到的网络资源也是随机的 业务的随机性是网络性能恶化的主要原因如果业务需求是确定性的，网络不会发生拥塞（网络的设计容量永远大于需求）业务需求的随机（不确定）性越大、网络性能的恶化越严重9随机过程与随机服务过程概论2.1 概率空间1、随机试验：在相同试验条件下可重复进行每次试验结果不止一个每次试验之前不能预先精确确定哪一种结果发生2、基本事件：表示试验的一个最基本的不可再分解的结果（由若干基本结果组成的事件称为复合事
5、件）3、样本空间：表示一切基本事件所组成的总体，即=4、事件：它是样本空间的子集105 几个概率1）补 当且仅当A不发生的事件2）并 事件A或事件B至少有一个发生3）交 当且仅当事件A与B同时发生4）必然事件：集合称为必然事件5）空集：不包含任何元素的集合。6）不相容：7）互不相容：若多个事件中任意两个事件都不相容，则称这多个事件 是互不相容的116 集合论与概率论术语比较记 号集合论概率论空间 全集样本空间 必然事件空集不可能事件元素基本事件 A的子集事件AcA的余集A的对立事件（补）A BA是B的子集A发生B必发生A=BA与B相等事件A与B相等A BA与B的和集（并 集）事件A与B至少有一
6、个发 生ABA与B的交集（积 集）事件A与B同时发生A-BA与B的差集事件A发生而事件B不发 生AB=A与B没有公共元 素事件A与B互不相容（互 斥）12性质1性质2（有限可加性）性质3（加法公式）一般地，若7 概率的性质称为多除少补原理性质4性质5 若性质6（连续性）13“事件”与“概率” 事件：粗略地可视为实验的结果,而严谨定义 基于集合论,使得事件间的关系和运算可借用 集合的关系和运算。 概率：严谨的定义基于测度论，简洁定义足以 使其担当“量度”事件发生可能性大小的角色。14随机事件的两种描述法随机事件的两种描述法(1) 随机事件发生间隔的概率分布描述法(2) 随机事件的点过程描述(记数
7、过程)法15定义2-1：设有样本空间=，F是由的一些子集A（一般是不可 列的）组成的集合。若F满足以下条件：则称F是中的一个代数显然由条件1，2知实质上，F即为一个随机事件族，将与定义在上的代数F一 起称为可测空间，记（ ，F ），并简称F中的元素为事件16定义2-2：设对于任一事件 ，P(A)是定义在代数F上的实值 集函数，若P(A)满足以下条件：则称P是F上的概率测度，简称概率称三元总体（ ， F ，P）为概率空间172.2 条件概率定义2-3：设概率空间 若满足：则称P(A/B)为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概率1、如果P(B)0，则P(A/B)可由（2.2.2）唯一确定；若
8、P(B)=0,则P(A/B) 可在0，1中任意取值。当P(B)0时，给定B后，P(A/B)即为A的函数，则由定义2知：182、若P(A/B)=P(A),则有满足（2.2.4）的A、B为统计独立事件推广到n个事件：则称A1, A2, An是相互独立的193、设B1, B2, Bn是互不相容的事件，即则称事件B1, B2, Bn为的一个划分204、设B1,B2, Bn是样本空间的一个划分，式（2.2.7）称为贝叶斯公式，P(Bi)为先验概率，P(Bi/A)为后验概率212.3 随机变量和随机过程定义2-4 设某随机试验的概率空间为（ ， F ，P）,若对于每一次试验 结果 ，均有某实值函数 与之对
9、应，即X()是试验结果 的一个函数，且对于任意实数x，集合 ，则称X()为随 机变量，E称之为状态集或称为状态空间。最常见的状态集合E有：1)非负整数集合N+=0,1,2,2)整数集合N=,-2,-1,0,1,2,3)实数集合4)非负实数集合1）、2）两种情况称为可列无限集合当E为可列有限集（如，E=1,2,N）或可列无限集时，称X() 为离散随机变量22例2-2 “测试12灯泡的平均寿命”样本空间=： =（ 1，2 ，12 ）定义2-5 一族无穷多个随机变量组成的集合 称为一个随机过程， 其中集合T称为参数集，各个Xt是定义在相同的概率空间（ ， F ，P）上 ，各随机变量Xt均在同一状态空
10、间E中取值。另一个定义：随机过程是以参数集T为定义域，以随机变量为值的“算子”1）离散随机过程2）连续随机过程232.4 随机变量的分布函数和随机过程的概率分布2.4.1 设X为一离散随机变量，其可能的一切取值为显然有：概率分布函数定义为：242.4 随机变量的分布函数和随机过程的概率分布2.4.2 当X为一连续随机变量时，则其分布往往由它的分布密度f(x)给出则f(x) 称为X的概率密度函数；F(x)为X的分布函数2.4.3 分布函数F(x)具有下述性质 1）F(X)为单调非降函数 2）F(x)为右连续的3）252.4.4 二维随机变量（X，Y）则F(x,y) 称为二维随机变量（X，Y）的联
11、合概率分布函数则f(x,y) 称为二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数则F1(x)和 F2(x)分别称为二 维随机变量（X，Y）关于 X和关于Y的边际概率分布 函数265、若X，Y统计独立，则有：则f1(x)和f2(x)分别称为二维随 机变量（X，Y）关于X和关于 Y的边际概率密度函数6、任意有限维随机变量则称F(x1, x2, xn)为n维随机变量(X1, X2, Xn)的联合概率分布函数则称f(x1, x2, xn)为n维随机变量(X1, X2, Xn)的联合概率密度函数277、在随机过程中， 为一个随机过程对于固定时刻 为一个随机变量，则称8、为刻画随机过程在不同时刻状态之间的联系，
12、引入随机过程多维分布 函数则f1(t1;x1) 称为随机过程X的一维概率密度函数为随机过程 的一维分布函数则F2(t1, t2;x1, x2) 称为随机过程X的二维概率分布函数则f2(t1, t2;x1, x2) 称为随机过程X的二维概率密度函数289、对n维情况，其n维联合分布为：随机过程有限维分布族为：292.5 数学期望值和母函数EX为X的数学期望值，简称均值。定义2-6 设X为离散随机变量，其所有可能的取值为 ，相应的概率为 。若 存在，称定义2-7 设X为连续型随机变量，且具有分布密度函数f(x), 若积分则称 为连续型随机变量X的数学期望值30例2-3：如果有：则31例2-4 某元
13、件的寿命X具有如下分布：2.5.4 若Y=g(x), 则例2-5 某随机变量X具有分布：则则若Y，X为连续型随机变量, 则32定义2.8 随机变量X的方差称为随机变量X的母函数定义2.9 设X为整数型随机变量，其概率分布为：则33定义2.10 设 为一随机过程，若对于每一个 ，随机变量 的均值与方差均存在，令则称 为随机变量X的均值函数与方差函数34矩、协方差定义2.12 若EX-E(X)Y-E(Y)存在，称cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)为随机变量X和Y的协方差，称定义2.11 设r.v.X有称 为X的k阶原点矩称 为X的k阶绝点矩称 为X的k阶中心矩称 为X的k阶绝对中心矩为随机变量X和Y的相关系数；若
