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1、第 1 页 共 6 页暨暨南大学南大学 2012 年数学系年数学系 复复变变函数函数 期中期中试试卷答案卷答案学号学号： ： 姓名姓名： ： 得分评阅人一、判断分析题分析题（要求写出充分的理由.每小题 4 分， 共 8 分）1.函数22( )f zxyix y在 z 平面上处处解析。 解答：该命题错误。1 分 记2( , )u x yxy，2( , )v x yx y，显然它们在平面上具有连续的偏导数，且2uyx，2uxyy，2vxyx，2vxy要使柯西黎曼条件条件满足，只须 22uvyxxy，22uvxyxyyx ，即0x ，0y 故此函数仅在点0z 可导，而在复平面上处处不解析3 分2.
2、函数在 z 平面上是有界的.sin z解答：该命题错误。1 分在平面上无界。 sin zz这是因为，令，sin2izizeezi(0)ziy y则3 分|sin| |()2izizeezyi 得分评阅人二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线 上，内容填错或未填者，该空无分.共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1. =.i12,.1, 0),2lnsin2ln(cos)22(lnkiek题题 号号一二三四五六七八九十总总 分分得得 分分暨南大学复变函数试卷 A 考生姓名： 学号：第 2 页 共 6 页2若是单位圆周，n 是自然数，则CCndzzz)(10 DznDzni00 , 1
3、, 0, 1,23指数函数的基本周期为.zei24. 设 2siniwe ，则 )Re(w 0 .5. 幂级数的收敛半径 2 .12nn nnzR 6. ，分别以为级极点与级极点，则为( )f z( )g zzamnza( ) ( )f z g z的级极点，级零点，可去奇点.mn()mnnm()mn()mn得分评阅人三、单项选择题（将正确的内容填在各题干预备的 横线上，内容填错或未填者，该空无分.共 6 小题，每 小题 2 分，共 12 分）1区域的边界是，它们的正方向( B ).12z1z 2z (A)，都是“逆时针” (B)“顺时针” ， “逆时针”1z 2z 1z 2z (C)，都是“顺
4、时针” (D)“逆时针” ， “顺时针”1z 2z 1z 2z 2设)(zf在单连通区域D内解析, L为D内一条简单闭曲线, 则必有（ D ）. A2Im( )d0. Lfzz B2Re( )d0. Lfzz C2( )d0. Lfzz D2( )d0. Lfzz 3设，则( C ).32zi arg z A B C D 2ar3ctg3ar2ctg2ar3ctg2ar3ctg4设为不经过点与-1 的正向简单闭曲线，则为( D ).Cczzzdz2) 1)(1(A B C0 D A、B、C 都有可能2i 2i 5设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属)(zfDCD暨南大学复变函
5、数试卷 A 考生姓名： 学号：第 3 页 共 6 页于如果在上的值为 9，那么对内任一点 ( C ).D)(zfCC)(,00zfzA等于 10 B等于 0 C等于 9 D916. 复级数收敛的充要条件是( C ).)(11n nn nniba A B收敛 C实级数及皆收0|n|1nn1n na 1n nb敛 D实级数及至少有一个收敛1n na 1n nb得分评阅人 四、计算题（共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分）1设在内解析，在闭圆上连续，有，求积分：)(zf1|z1z (0)1f.zdzzfzz z)()1(4 1|22解：=4 分zdzzfzz z)()1(4 1|22dzzzf
6、zzfzzfz 1|3)()()(4=4 分)0(82)0(422)0()0(42f iififfi 2. 试求函数的所有有限孤立奇点，并判断它们的类型。 zzzzf6tan)( 2解：显然是的奇点。又由于的零点为6, 0z)(zfzcos，所以都是的奇点。而，故,.1, 0,2kkzkkz)(zfkzkz,6, 0都是有限孤立奇点。4 分因为既是分子的一级零点，也是分母的一级零点，所以它是的可0z)(zf去奇点。其余奇点都是的一级极点4 分)(zf3设，求在 (1) 圆环；(2) 圆环21( )712f zzz( )f z3 | 4z内的洛朗展式1 |3|z 暨南大学复变函数试卷 A 考生姓
7、名： 学号：第 4 页 共 6 页解：(1) 在内，3 | 4zzzzzzzf3111411 41 31 41)( 0031 441nnnnnnzzz4 分01 013 4nnnnnnzz(2) 在内，1 |3|z 131 31 31 41)(zzzzzf3111 31 31zzz0)3(1 31 31nnzzz. 4 分02)3(1nnz4求复数的实部，虚部，模.111zwzz解:设,则zxiy4 分 22221211 111xyyixiyzwzxiyxy故 2 分22221Re1xywxy222 1myI wxy.2 分22222 2211 21wxyxyxy 5计算之值.2 2sin1z
8、zdz z z解：由柯西积分定理可得：3112222133sin sinsin (1)(1)(1)zzzz zzzdzdzdzzz zz z 分2 10sinsin22()(1)zzzziizz暨南大学复变函数试卷 A 考生姓名： 学号：第 5 页 共 6 页5 分2(cos1 sin1)i6. 设定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且.求3wz( )w ii 的值.()wi解： )2 , 1 , 0(|323kezwkik求：当时， 4 分kzi1,.2rz由知( )w ii 22 32k iiek . 4 分472 3663()iiiwiieee 得分评阅人 五、证明题（共 2 小题，
9、共 14 分）1 （7 分）. 试证：如果函数在区域 D 内解析, 在 D 内也解析.( )f zuiv( )f z则是常数.( )f z证明：(1)若在区域 D 内解析,则( )f zuivuiv()(),uvvuvv xyyyxx 又在区域 D 内解析,则( )f zuiv,uvuv xyyx 结合, 两式有0,uuvv xyxy故在 D 内均为常数，分别记之为, u v（为实常数） ，1122,uc uc1,2c c则为一复常数.12( )f zuivcicc暨南大学复变函数试卷 A 考生姓名： 学号：第 6 页 共 6 页2 （7 分）试证：.)2sin2(cos2cos2)sinco
10、s1 (nininnn证明： 2222sincos2cos1sincos1|sincos1|i， 2cos22cos4cos122 2sin2cos2cos22cos2sin22cos2sincos12iii故. 2sin2cos2cos2)sincos1 (nininnn得分评阅人 六、思考题（共 2 小题，共 14 分）1说明复变函数可微性与解析性的关系。解答：解答：复变函数在点处可导，又称为可微，而在处的某个( )wf z0z( )f z0z邻域内任一点处均可导（可微） ，则称在处是解析的。( )f z0z所以（1）在点处可导(可微)，但不一定在处是解析的，( )wf z0z0z（2）在处解析是指在处的某个邻域内任一点处均可导，( )f z0z0z（3）在区域内可微与在区域内解析是等价的。( )f zDD2.在区域：上解析且有无穷多个零点，但在区域 1sinf zzD01z上不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？D f z解答：解答：在区域，内有无穷多个零点，但1( )sinf zzD01z1kzk，但，而区域是去心邻域，在点无意义，所以lim0kkz 0DD( )f z0z 在处是不解析的，也即在内解析也有无穷多个零点，( )f z0z 1( )sinf zzD但也不恒等于 0，与零点孤立性定理不矛盾。
