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1、1.3.2“1.3.2“杨辉三角杨辉三角” ”与与 二项式系数的性质二项式系数的性质一般地，对于n N*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？1“杨辉三角”的来历及规 律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示 ： 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 第5行 1 5 5 1第0行1杨辉杨辉三角三角第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1
2、 4 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11第n行 11 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34125第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 113813 2134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; ;这就是著名的这就是著名的斐
3、波那契数列斐波那契数列 。类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的详解九章算法一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪 ）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于 11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家 帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.二项式系数的性质二项式系数的性质展开式的二项式 系数依次是： 从函数角
4、度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右 图中的7个孤立点二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式得到图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。 可知，当 时，二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当
5、n为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 一般地， 展开式的二项式系数有如下性质：（1）（2）（3）当 时，（4）当 时，例题分析: 例1证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数的和 启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此 我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项 式有关问题的一种重要方法赋值法。令a=b=1，则1答案2答案继续思考1: （2）试证明在(a+b)n的展开式
6、中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 .即证 ：证明：在展开式 中令a=1，b=1得小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。赋值法例2小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解思考：1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系 数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题. 课外思考: 1.求证：2.(1x )13 的展开式中系数最小的项是 ( ) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项C思考32答案思考2求证: 略证：由(1+x)n(
7、1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：再由 得思考:求证：证明：倒序相加法思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项 ;(3)系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则即 3(r+1)2(20-r) 得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为（3）因为系数为正的项为奇数项，故可 设第2r-1项系数最大。（以下同2）r=5.即 3(r+1)2(20-r) 得2(21-r)3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为课堂练习：1）已知 ，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值 是
8、；3）若 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；例1 证明在 的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项例2 已知 的展开式中，第例3： 的展开式中第6项与第7项的系 数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最 大的项。变式引申：1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不 含x的项等于( )A.210 B.120 C.461 D.416例4、若 展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开
9、式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；（3）展开式中系数最大的项。1、已知 的展开式中x3的系数为 ，则常数a的值是_ 2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_课堂练习4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项 ，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解 决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结小结
