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1、范例3.9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心 处于椭圆的一个焦点上。已知地球半径为RE = 6.378106m ，人造卫星距地面的最近高度(即近地点)为h1 = 4.39105m ，最远高度(即远地点)为h2 = 2.384106m。卫星在近地点的 速度为v1 = 8.10103m/s。具体描绘卫星运动的轨迹？求卫 星在远地点的速度v2和运动的周期T。 解析取地球中心为坐标原点， 则表示地球圆周的参数方程为a = (h1 + h2 + 2RE)/2 = (r1 + r2)/2 其中，r1 = RE + h1，r2 = RE + h2 。焦
2、距为c = a - RE h1 = (h2 - h1)/2，半短轴为卫星椭圆轨道的半长轴为x = REcos，y = REsin椭圆的方程为其参数方程为 x = acos - c，y = bsin设卫星的质量为m，卫星在近地点的角 动量为L1 = mv1r1，在远地点的角动量为 L2 = mv2r2，根据角动量守恒定律可得行星运动的开普勒第二定律是：行星对太 阳的矢径在相等时间内扫过相等的面积。方法一：用开普勒第二定律求周期。该定律也适用于卫星绕地球运行的情况dS/dt = C。根据近地点的速度 和距离可计算常数当卫星运行一圈时，矢径扫过的面积就是椭 圆的面积，卫星运动的时间就是一个周期。椭圆
3、的短半轴可表示为椭圆的面积为S = ab，因此卫星的周期为范例3.9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期行星运动的开普勒第三定律是：行星公转周 期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比。方法二：用开普勒第三定律求周期。该定律也适用于卫星绕地球运行的情况T2/a3 = C。如果卫星的轨道是圆形，长半轴就是圆的半径。 假设一颗卫星绕地球做半径为R0的匀 速圆周运动，其周期为T0，则常数C为假设卫星的质量为m，在绕地球做匀 速圆周运动时，根据向心力公式得其中，G是万有引力常数，ME是地球质量 。范例3.9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期由于 = 2/T0，所以常数为C = 42/GME。这是一个由地球质量决定的常数 ，地球质量越大，常数就越小。我国第一颗人造地 球卫星的周期为我国第一颗人造地球 卫星的轨迹是椭圆， 在近地点速度最大， 在远地点速度最小， 只有6.3km/s。根据开普勒第二定律求出 卫星周期约为6850s，根 据开普勒第三定律求出卫 星周期约为6840s。用两种方法计算的 周期有点差别，这 是因为计算中的数 值都是近似值。
