《线性代数课件--08向量组的线性关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件--08向量组的线性关系（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八讲 向量组的线性关系主要内容v 维向量、向量组的概念 v线性组合与线性表示； v线性相关与线性无关； v向量组线性相关性的重要结论.基本要求v理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与线性方程组的联系；v理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量组与矩阵的对应；1v理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系.知道两个向量组等价的概念；v理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系.2一、 维向量第一节 向量组及其线性组合定义 个有次序的数 所组成的数组 称为 维向量， 这 个数称为该向
2、量的 个 分量，第 个数 称为第 个分量. 说明 向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向量，也就是行矩阵和列矩阵. 规定行向量和列向量 都按矩阵的运算规则进行运算.3分量对应相同的列向量和行向量按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同 的向量. 列向量常用小写黑体字母 表示，或用希腊字母 表示. 行向量则用列向量 的转置表示. 如4“向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代数 的几何理论.把线性方程组的理论、矩阵理论“翻 译”成几何语言. 可以把有向线段作为 维向
3、量的几何形象， 但是当 时， 维向量就不再有这种几何形象了. 点的集合通常称为“空间”，引入坐标系后，点的 坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量 的集合称为向量空间，沿用几何术语，如3维空间 3维向量空间53维空间中的一个平面3维向量空间中的一个平面 维向量空间 维向量空间中的一个超平面6二、向量组1.定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组.例如 一个 矩阵的全体列向量就是一个含 个 维列向量的向量组； 一个 矩阵的全体行向量就是一个含 个 维行向量的向量组； 方程 的全体解是一个 维列向量组成的向量组.注意 向量组可以是含有有限个向量，也可以是含有无限
4、个向量.72.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个 向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的 向量组总可以构成一个矩阵. 列向量组行向量组所以， 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.8三、向量组的线性组合定义 给定向量组 ，对于任何一组 实数 ，表达式称为向量组 的一个线性组合， 称为这 个线性组合的系数.说明 向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式. 线性组合的系数可以是任意实数.9四、线性表示的概念定义 给定向量组 和向量 ，如果 存在一组数 ，使得即 是向量组 的线性组合，则称向量 能由向量 组 线性表示.定义 设有两个向量组 和 ， 如果向
5、量组 中的每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示. 如果向量组 与向量组 能互相线性表示，则称这 两个向量组等价.10说明向量 能由向量组 线性表示，就是存 在 ，使也就是线性方程 有解. 向量组 能由向量组 线性表示，就是存在 组数 使得11记作其中矩阵 称为这一线性表示的系数矩阵.即向量组 能由向量组 线 性表示，就是存在矩阵 ，使得也就是矩阵方程 有解.这就是向量组 由向 量组 线性表示的矩阵表示式.12若 ， 则矩阵 的列向量组能由 矩阵 的列向量组线性表示， 为这一表示的系 数矩阵：同样地，矩阵 的行向量组能由矩阵 的行向量组 线性表示， 为这一表示的系数矩
6、阵：13若矩阵 与矩阵 行等价，则 的行向量组与的行向量组等价；若矩阵 与矩阵 列等价，则 的列向量组与的列向量组等价.证矩阵 与矩阵 行等价 存在可逆矩阵 ，使得的行向量组能由 的行向量组线性表示；矩阵 与矩阵 行等价 存在可逆矩阵 ，使得的行向量组能由 的行向量组线性表示.14五、线性表示与方程的联系根据以上说明，线性表示与方程的联系为：向量 能由向量组 线性表示 线性方程 有解.向量组 能由向量组 线性表示 矩阵方程 有解.向量组 与向量组 等价 矩阵方程 有解, 而且矩阵方程 也有解.15六、线性表示的判定定理1 向量 能由向量组 线性表示 的充分必要条件是矩阵 的秩等 于矩阵 的秩.
7、 定理2 向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩， 即推论 向量组 与向量组 等价 的充分必要条件是 其中 和 分别时向量组 和 所构成的矩阵.根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得证明（上章定理5）（上章定理7）16例1 设证明向量 能由向量组 线性表示，并求 出表示式. 解 析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一 个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的 求法. 由定义知，向量 能由向量组 线性 表示 方程 有解，即 有解， 这表明 由向量组 线性表示的表 示式与方程 的解是一一对应的.例题讲解17记可见 因此，向量 能由向量组 线性表示.例题讲解
8、18由上述行最简形，可得方 程 的 通解为因而，所求的表示式为例题讲解19证明向量组 与向量组 等价.例2 设证例题讲解析：此题的目的是运用定理2的推论来证明两 向量组等价.记20例题讲解而且由以上可见 因此，向量组 与向量组 等价.21说明 定理2的有力、简洁之处在于它把下述两个问题 等价起来：向量组 能由向量组 线性表示前者是抽象的 维向量空间 中的问题，而后者 则是具体的，可程式化计算的问题. 关系式 仅给出向量组 与向量组 等价的信息，如果要解决它们是如何 相互线性表示的，即要求出 组与 组相互表示 的系数矩阵，亦即要求矩阵方程 与，需进一步求矩阵 或 的行 最简形.22例题讲解例3
9、（定理3） 设向量组 能由向量 组 线性表示，则证记能由向量组 线性表示 （由定理2） （由矩阵的秩的性质）说明 此定理可上章定理8对应. 存在 ，使得 ，从而由上章定理8， 有23 定理1与上章定理5对应、定理2与上章定理7 对应、定理3与上章定理8对应，这些对应关系， 是以向量组与矩阵的对应关系为基础的，反映出 方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间可以转 换，例如：可作如下的解释:矩阵语言： 方程语言：是 与 的乘积矩阵；是矩阵方程 的一个解； 几何语言：向量组 能由向量组 线性表示， 是这一表示的系数矩阵.24例题讲解例4 设 维向量组 构成 矩阵， 阶单位矩阵 的列向量组叫做 维单位坐
10、标向量组. 证明 维单 位坐标向量组 能由向量组 线性表示 的充要条件是证能由向量组 线性表示 （由定理2）而且 所以因此25说明 本例有两方面的意义： 中任一向量组 都能由 组线性表示，反过 来，如果 组能由向量组 线性表示，那么 组 应满足是么条件呢，本例给出了它的充要条件. 当 为 阶方阵时，矩阵方程 有解的 充要条件是 可逆，即 为满秩矩阵 ， 且其唯一解： 本例“翻译”成其它语言为： 方程语言： 方程 有解的充要条件为 即 的秩等于 的行数（称为行满秩矩阵）.26矩阵语言：存在矩阵 使 的充要条件 是 ；存在矩阵 使 的充要条件 是 .显然，当 时， 就是 的逆阵，因此， 上述的结论可以看作逆阵概念的推广.27七、小结v掌握几何语言，即掌握本章中的概念（定义）是学好本章的关键. v方程组理论是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建立起来的，几何的基本元素是向量，而向量组可等同于矩阵，因此，矩阵是连结方程组理论与几何理论的纽带，又是解决问题是最常用的方法. v两个矩阵等价与两个向量组等价的区别和联系：区别：两个同型矩阵 与 等价是指 可经过有 限次初等变换变成 ，两个不同型矩阵是无所谓 等价的；两个向量组等价是指它们能够相互线性 表示，它们各自所含向量的个数可以不一样.28联系：若 与 行等价，则
