《定积分在几何上的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分在几何上的应用（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 上页 下页 返回 结束 第二节 定积分在几何上的应用二、体积一、 平面图形的面积三、平面曲线的弧长上页 下页 返回 结束 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线及 x 轴所 围曲边梯形面积为 A .取 x 为积分变量，其变化区间为 a, b，取任一小区间 x , x + dx ,从而此区间的窄曲边梯形面积可以由底为dx 、高为 f (x) 的窄矩形面积 f (x)dx 近似表示, 所以面积元素为上页 下页 返回 结束 解:例 1.相应于其间任一区间 x, x +dx 的窄条面积近似等于底为dx , 高为 的窄矩形面积上页 下页 返回 结束 解:得交点计算抛物线与直线的面
2、积 . 所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则 y 的变化区间为2, 4.例2.由相应于任一区间 y , y +dy 的窄条面积近似等于底为dy , 高为 的窄矩形面积, 从而上页 下页 返回 结束 故思考: 为什么此处选取 y 为积分变量?上页 下页 返回 结束 由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4 倍解：例 3.椭圆的参数方程为或将代入求积分也可.取 x 为积分变量，其变化区间为 0, a . 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标系的情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为上页 下页 返回 结束 对应
3、计算阿基米德螺线解:从 0 变到 2 所围图形面积 . 例4.上页 下页 返回 结束 利用对称性知解:例5.上页 下页 返回 结束 二、体积1. 旋转体的体积圆柱圆锥圆台旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体. 直线叫做旋转轴.上页 下页 返回 结束 xyo旋转体体积求法上页 下页 返回 结束 旋转体的体积为类似地，上页 下页 返回 结束 解:例 6.xx上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 解:例7.上页 下页 返回 结束 于是旋转椭球体的体积为上页 下页 返回 结束 解:例 8.上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 2. 平行截面面积已知的立体的
4、体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上 垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的 体积也可用定积分来计算.xyo上页 下页 返回 结束 特别 , 考虑连续曲线段考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积为轴旋转一周围成的立体体积为上页 下页 返回 结束 解:例 9.如图建立直角坐标系.上页 下页 返回 结束 解:例 10.上页 下页 返回 结束 三、平面曲线的弧长并依次连接相邻分点得一内接折线， 当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 若折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长， 并称 是可求长的.定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.上页 下页 返回 结束 1.直角坐标系情形弧长的计算上页 下页 返回 结束 所求弧长为解:例 11.上页 下页 返回 结束 2. 参数方程情形上页 下页 返回 结束 弧长元素为从而, 所求弧长解:例 12.上页 下页 返回 结束 3. 极坐标系情形ox)上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 解:例 13.
