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1、第一章补充例题：杆OA绕O点作定轴转动，小环C活套在OA 杆和半径为R的固定圆环上，此固定圆环与OA杆在同一平面 内且通过O点，已知OA杆与 的夹角 ，求小环 C在任一时刻的速度、加速度的大小。 解：方法1: 选直角坐标系第一章方法2： 选取极坐标系（以O为极点，OX为极轴， 为极角）C点的极坐标运动方程为：第一章方法3：选自然坐标系取C点的已知轨道（大园环）为弧坐标， 时 ，C点位置（D点）为弧坐标的原点，并以 角正向为弧坐 标的正方向，则C点的弧坐标运动方程为：第一章4 质点运动微分方程及其积分 The equation and their integration of motion of
2、 particle质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；刚体作平动时,刚体 质点。一、牛顿三定律明确: 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个 力学体系选定了一类特殊的参考系-惯性参考系 2. 第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年 来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于 惯性质量作为广义相对论的基本公设.第一章第 一 定 律第 二 定 律第 三 定 律表述 自由质质点有保持静止或匀 速直线线运动动的性质质，直到 其它物体对对它作用的合力 迫使它改变这变这 种状态态。质质点受外力作用
3、，其加速度 大小与合外力大小成正比， 与物体的惯惯性质质量成反比， 加速度的方向与合外力方向 相同。 两质质点间间的相互作用力 ，总总是沿同一直线线等值值 反向的。要点 1、惯惯性质质点具有保持其 速度不变变的性质质。 2、力（物体之间间相互作用） 是改变变运动动状态态的原因。 1、惯惯性质质量m 2、反映 , m和 之间间的定 量关系。 3、 具有瞬时时性、矢量性 、迭加性。 1、作用力和反作用力是成 对对出现现，成对对消失的。 2、作用力和反作用力必定 属同一性质质，作用在不同 质质点上。 关 系给给出了运动动状态态改变变，惯惯性 及受力的定性关系，是三大 定律中的前提和基础础。 给给出了
4、运动动状态态改变变，惯惯性及 受力的定量关系，是三大定律 中的核心。 给给出了相互作用力之间间的 定量关系，是对对第二定律 的补补充。 第一章3. 一般工程问题地球可以看作惯性参考系;如果物体运动的尺度 很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心 为惯性参考系; 在分析行星的运动时,地心本身作公转,必须取日 心参考系. 太阳本身在银河系的加速度大约是310-8厘米/秒2, 一般来说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了.基本定律: 质量为m的质点受力Fi(i=1,2,.n)的作用,在惯性系 中的加速度为a, 则:二、运动微分方程将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运
5、动微分方程。 （1）矢量形式1.运动微分方程第一章（2）直角坐标形式解二阶常微分方程将出现积分常数，共6个。由质点的 初始条件决定：线性:力是位置和速度的线性函数，有一般的解法， 线性方程只是实际问题中的少数情况.非线性:力是位置和速度的非线性函数，无一般的解 法，实际问题中大多数是非线性的.第一章（3）自然形式（4）平面极坐标形式若质点在xOy平面上运动:R为约束反作用力第一章质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有球坐标形式, 柱坐标形式等等。2.约束 牛顿力学中力的分类若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力
6、).约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.质点受到约束, 其自由度减少. （1） 约束的概念和约束方程 钢轨，平面， 摆长第一章第一章（2） 约束力和主动力 约束是通过约束物实现的, 为强制质点满足约束条件, 约束物与质点间有力的相互作用, 称约束物对质点施加的 力为约束力 (或称为约束反力, 约束反作用力).用数学方法表述约束条件的方程称为约束方程。弹簧弹性力、万有引力、电磁力主动力已知力的函数 , 约束力是未知的.而把质点所受的, 除约束力之外的其他力称为主动力 (叫非 约束力可能更准确). 主动力的主
7、要特点是已知，或大小，或方向，或函数关系空气阻力也是主动力第一章第一章而约束力的主要特点是未知，取决于约束与介质的性质以及 质点的运动状态。被动。只有被动力不能引起质点的任何运动。绳的张力、面的支撑力、摩擦力质点运动的约束微分方程：第一章第一章一般采用自然坐标系.1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内(1)式求出运动规律,(2)和(3) 解出约束力,方便之处在于 运动规律和约束力可分开求解 .第一章第一章2) 非光滑约束4个方程4个未知数,可解应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。第一章第一章两类基本问题： 1)已知运动求力 2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。 解
8、体步骤：1）作图，受力分析;2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.4.运动微分方程的解1)自由质点的运动微分方程组及例题（1） 力仅是时间的函数, F=F(t)例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动第一章电子所受的力则为 ： 根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为 ： 设起始条件是：当 时， ， 上式积分两次得 ：振荡项与电场具有相同的角频率 ，且与初始条件无关。 非振荡项与起始条件有关，对波的传播特性无贡献，只能影 响波到达的前沿位置。 设沿 轴的电场强度为： 第一章第一章设阻力 只与速度 的量值的一次方成正比，即当 时 ，上两式积分，得 ：2.力只是速度的函数在具
9、有阻力的媒质中运动的抛射体选取直角坐标系，其运动微分方程为：第一章第一章当 时 ，上式再积分一次得：第一章第一章上式展开为级数后，可得： (2)当mvx0-bx0, y 无穷, 说明轨道在x=mvx0/b处变 成竖直直线.当抛射体的速度接近枪弹的速度时， 与 的正比关系已经 不再适用。如为低速炮弹，可以认为 与 成正比；当速度接 近声速时， 与 正比的关系又不再适用。 如果阻力很小或距离很短，即：轨道方程为： 第一章可见:(1) 若阻力较小(b很小)或x很小, 可以忽略x3以上的项, 与真空中弹道一致第一章解：质点受力分析如图所示，选取直角坐标 系，其运动微分方程为： 即 上式积分得：当时间逐
10、渐增加时，速度逐渐接近于定值极限速度 ， 而运动几乎是匀速直线运动。这是因为时间增加时，和重力 相反的阻力也随之增加（因速度随着时间逐渐加大），等它 增加到和重力mg 相等时，物体等于没有受到外力作用，因而 作匀速直线运动。例题1.质量为m 的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地 面为h的地方竖直下落。如阻力与速度成正比，试研究其运动 。第一章第一章当时间逐渐增加时，速度逐渐接近于定值极限速度 ， 而运动几乎是匀速直线运动。这是因为时间增加时，和重力 相反的阻力也随之增加（因速度随着时间逐渐加大），等它 增加到和重力mg 相等时，物体等于没有受到外力作用，因而 作匀速直线运动。第一章第一章质点
11、运动微分方程为（步骤与例题1相仿，故从略）：积分得：当 时， ，故物体的速度由零逐渐增大， 但以定值 为其极限。极限速度与运动物体在运动垂直 方向的最大截面积有关。 例题2.在例题1中，如阻力与速度平方成正比，试研究该 质点的运动。解：阻力表示为 ，式中 为常数 第一章第一章3. 力只是坐标的函数三维谐振动是比例系数， 常称为倔强系数。 方向：其解为：所以：原子在晶体点阵中的运动，在简单情况下，力只是坐标 x 、y 、 z 的函数，且可互相分开，故其运动微分方程可写为第一章第一章第一章1.22）带电粒子在正交电磁场中的运动假定粒子运动微分方程为:粒子运动分量微分方程为:（1）（2）（3）第一章
12、第一章（1）（2）（3）由（1）得：利用初始条件，积分，得代入（2），上式的解为第一章第一章t=0时,积分常数为积分，得积分(3) z 0第一章第一章2)非自由质点的运动微分方程组及例题（1）有关约束力的进一步讨论约束力是约束物施加给质点的力： 1）未知的. 只有通过求解质点的动力学方程才可以 确定. 2）被动的. 只有当被约束物体相对约束物有运动趋 势时, 约束力才存在；单靠约束力本身不能引起被 约束物体相对于约束物的运动. （2）非自由质点的动力学方程组约束方程第一章第一章牛顿力学的缺点: 要同时计及约束力和约束方程, 同 时考虑约束的两个侧面. 不好，不好！自由度 减少了，为什么方程 反
13、而复杂了？分析力学！第一章（1 ）（2 ）解：小环受力分析，如图所示。小环在任意位置P处的运动微分方程为：第一章例题3.小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上， 钢索的方程式为 。试求小环自 处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在 此时所受到的约束反作用力。（1）式变为：第一章（2）（3）（4）联立得：求得由（4 ）对上式积分得：（3 ）利用（1）式变为：第一章第一章第一章例题4:p.80:1.27)一质点自一水平放置的光滑固定 圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质 点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r.=-=+-=-cos)2(sin)(2(约束方程)RrmgrrmmgFrrmNqqqq
14、 q & & &解：x=q=+-=+-=sincos222(约束方程)RyxRyFmgFmgmRFFmNNNNq第一章第一章=-=）sincos2rrqrq（由约束方程确定的RFmgvmmgvmNt&第一章第一章解的适用范围为当 时滑块脱离球面正确选用适当的坐标系是很重要的, 关系解决 问题的繁简以至成败, 而且又没有简单的规则可以 遵循, 所以读者在学习理论及解算例题习题的过程 中, 对这个问题要给以足够的重视. 第一章第一章作业：周衍柏：18-31习题：p.791.19),1.21)1.22)。第一章第一章质点在加速平动参照系中的运动所以有 ：故相对于作加速直线运动的非惯性参照系，牛顿运动
15、定律有相对于非惯性系来讲，牛顿第二定律在形式上仍然成立。不再成立，上式改写为： 令：5. 非惯性系动力学(一)这样除了物体间相互作用的力之外，还有一种非相互作用 力 ，这种力是由于参照系本身相对于惯性参照系作加 速运动所引起的，这种力叫做惯性力。 第一章第一章一、功与能 （Mechanical work and energy)1.功和功率其中，r 是力的作用点之位移。1） 质点在恒力作用下沿直线运动5 功与能 保守力与耗散力 势能2） 质点受变力沿曲线运动第一章第一章功是标量，其值与坐标选取无关。选坐标系较方便，在直角坐标系下：3. 若质点受几个力F1 F2 _Fn作用, 合力即合力之功等于分力功之代数和。4. 功率：描述做功快慢的量第一章第一章二、能物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学 中机械能. 当能量发生变化时，总有一定数量的功 表现出来功是能量变化的度量。对能的理解:哲学上：能量是物质运动的度量，运动是永恒 的。能量是推动一切过程的本因可用能。我国能源及其利用现状.第一章第一章三、保守力、非保守力与耗散力1. 力场: 一般若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F (r)，力是 位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，F为场力。 如：万有引力场、静电场,若含有
