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1、第6章 方差分析与回归分析61 方差分析 6.1.1单因素方差分析 1.方差分析的意义 在科研、生产和管理中，某项特性指标 的优劣，是受许多条件影响的为了弄清诸 条件中，哪些是对特性指标有显著影响的条 件，并弄清这些条件在什么状态时起的作用 最大，就需要进行试验（即进行抽样），并 对试验结果进行数据处理.方差分析就是分析 、处理试验数据的一种数学方法，它的主要 任务是通过对数据的分析、处理，分清各试 验条件以及它们所取的状态对试验结果的影 响，以便有效地指导实践，提高效益试验中，由于试验条件的变异而引起的 试验结果的数量变异，称为条件误差（或系统 误差）；由于许多未能控制的、微小的偶然因 素所
2、引起的试验结果的数量变异，称为随机误 差（或试验误差）我们称可控制的试验条件为因素，称因素 的各种状态为水平如果在试验中，仅有一个 因素在改变，其他可控制的条件不变，则称这 种试验为单因素试验；如果在试验中变化的因 素多于一个，则称为多因素试验 . 2.单因素方差分析 设因素A有 个水平 ，在水平 下进行 次试验，共进行 次试验， 假设各次试验都是独立的，得到样本观测 值 见下表 水平观 测 值 设在水平 下总体 ，其中 称 为因素 在水平 下的效应 ， 要检验的假设是 记 可以证明： 选择统计量 式中 为水平个数，为试验数据个数 对于给定的 ，查 分布表确定临界 值 使 并由样本观测值 求出
3、 的值 （1）当时 ，接受原假设 ，即 可认为因素 对试验结果的影响不显著； （2）当 时，说明小概率事件 在一次抽样中发生了.拒绝原假设 ，即可认 为因素 对试验结果的影响显著 由于 的观察值的计算比较复杂，在实际 工作中，通常将， , , ，改写成 ; ; ; ; 其中 并采取下面的方差分析表方差来源 平方和 自由度均方 值分位数组间组内总和下面举例说明单因子方差分析方法 例1 一批由同种原料织成的布，用不同的 染整工艺处理，每台进行缩水率试验，目 的是考察不同的工艺对布的缩水率是否有 显著影响，现采用5种不同的染整工艺，每 种工艺处理4块布样，测得缩水率的百分数 见下表：1 2 3 44
4、.3 7.8 3.2 6.56.1 7.3 4.2 4.26.5 8.3 8.6 8.29.3 8.7 7.2 10.19.5 8.8 11.4 7.8染整工艺 布样号试问染整工艺对缩水率影响是否显著（ ）？ 解 (1)选择统计 量依题意， (2)计算统计 量的观测值由得 得(3)对于给定的 ,查 分布表得 (4)因为 ，故染整工艺 对缩水率影响高度显著6.1.2无重复双因素方差分析设因素 有 个水平 ，因素 有 个水平 ，在因素 与 的各 个水平的每一种配合 下，分别进行一 次试验，共进行 次试验，假定各次 试验都是独立的，得到样本观测值 设在水平 下的总体 ， 其中 称为因素 在水平 下的
5、效应， 称 为在 水平 下的效应 检验假设记 的离差平方和、的离差平方和、误差平方和分别记为，总离差平方和、因素 则 因为 总偏差平方和，反应了数据总的差异；分别为因素的偏差平方和，分别反映了因素 的水平发生变化后所引起的差异；反映了除因素以外的随机因素引起的差异为误差平方和，可以证明 、的自由度分别为： 实际计算时，常用下列表达式：，其中 选择统计量 给定 查 分布表确定临界值和并与的值进 行比较：(1)若，则拒绝假设即认为 因素对试验结 果的影响显著； (2)若 ，则接受 ， 即认为 因素 对试验结 果无显著影响； (3)若，则拒绝假设 即认为 因素对试验结 果的影响显著；(4)若，则接受
6、假设 即认为 因素 对试验结 果无显著影响计算 与 的值可采取下面的方差分析表： 方差来源平 方 和自由度均方值分位数因素因素误差总和例2 试验某种钢的不同含铜量在各种温 度下的冲击值（单位： ），下表列出 了试验的数据（冲击值），试检验其差异性 是否显著（ ）铜含量0.2%0.4%0.8%2 0 -20 -4010.6 7.0 4.2 4.211.6 11.1 6.8 6.314.5 13.3 11.5 8.7试验温度解 列表、计算： 列表铜含量试验 温度200-20 -400.2%0.4%0.8%10.6 7.0 4.2 4.211.6 11.1 6.8 6.314.5 13.3 11.5 8.7367 314 225 192134689 98596 50625 3686426035848.06761281642304 双因素的方差分析表方差来源平方和自由度平均平方 和F值临界值显著 性 试验温度 作用32153*铜含量 作用23037*试验误 差60905总和11从上面的表中看出：. 检验结 果表明，这种钢随着含铜量的增 加，冲击值 提高的效果是特别显 著的；同时 ，随着试验 温度的提高，冲击值提高的效果 也是特别显著的
