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1、第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE*1常微分方程-重庆科技学院-李可人第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理/Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE/ 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 解的一般性质 奇解* 近似计算和误差估计 *2常微分方程-重庆科技学院-李可人研究对象主要问题存在性，存在区间？唯一性？延拓性，最大存在区间？初值微小变动时，解的变化情况？本章要求 掌握逐步逼近方法的基本思想 会用解的存在唯一性和延拓定理解决具体问题Ch
2、.3 Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE *3常微分方程-重庆科技学院-李可人 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 理解解的一般性质 掌握求奇解的两个方法 利用逐步逼近序列进行似计算和误差估计 掌握逐步逼近方法的本思想解的延拓解对初值的连续依赖性和可微性本章要求/Requirements/Ch.3 Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE *4常微分方程-重庆科技学院-李可人 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法/Existence & Uniqueness The
3、orem & Progressive Method/6概念和定义存在唯一性定理内容提要/Constant Abstract/ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*6常微分方程-重庆科技学院-李可人本节要求/Requirements/ 掌握逐步逼近方法的本思想 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*7常微分方程-重庆科技学院-李可人8一 、概念与定义/Concept and Definition/1. 一阶方
4、程的初值问题(Cauchy problem)表示 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*8常微分方程-重庆科技学院-李可人2. 利普希兹条件 函数称为在矩形域 :(3.1.5)关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L0 使得不等式 对所有都成立。L 称为利普希兹常数。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*9常微分方程-重庆科技学院-李可人二 、存在唯一性定理 定理1如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普
5、希兹条件, 则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 定义在区间 , 且满足初始条件这里 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*10常微分方程-重庆科技学院-李可人定理1的证明需要证明五个命题： 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解 命题 5 证明唯一性 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*11常微分方程-重
6、庆科技学院-李可人定理1的证明命题1 设是初值问题的解的充要条件是是积分方程(3.1.6) 的定义于上的连续解。证明: 微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6） 。 积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*12常微分方程-重庆科技学院-李可人证 明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在 上的连续解. 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive
7、 Method*13常微分方程-重庆科技学院-李可人14反之，如果是 (3.1.6) 的连续解，则有：(3.1.8)微分之，得到:又把 代入(3.1.8)，得到:因此， 是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解。命题1证毕.同理，可证在也成立。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*14常微分方程-重庆科技学院-李可人现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*15常微分方程-重庆科技学院-李
8、可人xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*16常微分方程-重庆科技学院-李可人命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 在上有定义、连续，即满足不等式: 证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当 n =1 时, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*17常微分方程-重庆科技学院-李可人18即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都
9、成立。 即 当 n=k 时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当 n=k+1 时，上有定义，连续。在 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*18常微分方程-重庆科技学院-李可人即命题在 n=k时也成立。 由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。命题在上是一致收敛的。命题证毕函数序列考虑级数:它的部分和为： 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*19常微分方程-重庆科技学院-李可人为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)
10、有: 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*20常微分方程-重庆科技学院-李可人设对于正整数 n , 不等式成立， 于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计: 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*21常微分方程-重庆科技学院-李可人由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项， 由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在上一致收敛, 因而序列也在上一致收敛。 命题3证
11、毕 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*22常微分方程-重庆科技学院-李可人则也在又可知现设上连续，且由(3.1.10) 命题4 是积分方程(3.1.6)的定义于证 明: 由利普希兹条件以及在上一致收敛于 上的连续解。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*23常微分方程-重庆科技学院-李可人因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于上的连续解。命题4 证毕 3.1 Existence
12、 & Uniqueness Theorem & Progressive Method*24常微分方程-重庆科技学院-李可人命题5也是积分方程(3.1.6)的定义于 上的一个连续解, 则证明若首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此，从进行如下的估计 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*25常微分方程-重庆科技学院-李可人现设则有 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*26常微分方程-重庆科技学院-李可人有故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，
13、有下面的估计式 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*27常微分方程-重庆科技学院-李可人因此，在上有:是收敛级数的公项, 故时 因而在 上一致收敛于 根据极限的唯一性， 即得:命题5证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*28常微分方程-重庆科技学院-李可人例求初值问题 的第三次近似解。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*
14、29常微分方程-重庆科技学院-李可人附 注/Remark/1）如果在 R 上存在且连续, 则 f (x,y) 在R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立。证在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L由中值定理故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*30常微分方程-重庆科技学院-李可人这条件是充分条件，而非必要条件。例1R 为中心在原点的矩形域但故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。在 R 上存在且有界f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条
15、件。在 R 上存在且无界f(x,y) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件。 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*31常微分方程-重庆科技学院-李可人2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在唯一的充分条件，而非必要条件。例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*32常微分方程-重庆科技学院-李可人例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一。f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一不可能有界 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*33常微分方程-重庆科技学院-李可人xy 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method*34常微分方程-重庆科技学院-李可人例4 设方程(3.1)为线性方程则当 P(x),Q(x) 在区间 上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在。3）若f (x,y)在带域 中连续，且对 y 满足Lip
