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1、第第1717章章 网络图论基础网络图论基础17.1 网络的图17.2 回路 树 割集17.3 图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式17.4 节点电压法17.5 含VCCS电路的节点分析17.6 割集法17.7 回路法17.9 表格法17.8 改进节点法本章重点 本章重点关联矩阵A， 基本回路矩阵B， 基本割集矩阵Q .回路，树， 割集 .矩阵形式的KCL，KVL .节点法列写电路方程 .返回目录网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几 何结构及其基本性质的理论。研究对象 实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。 电路中的应用 应用图论的基本概念建立便于计算机识别
2、的列写电路 方程的系统方法。17.1 网络的图一、网络图论 网络拓扑（topological graph）: 泛指线段和点之 间的连接性质。i1i2i3i1i2i3抽象 i1 i2i3+-二端元件 支路 抽象 电路图 抽象图 二、网络的图 R2CLuSR1+-+-抽象 抽象 电路图 抽象图 （1）图 G=支路，节点 不含自环 允许孤立节点存在 名词 （2）子图（sub graph） 图G 子图G1 子图G2 （3） 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动 到达另一节点所经过的支路构成路经。（4）连通图（connected graph）：图G的任意两节点间至 少有一条路经时称图G为连通图
3、。有向图中的方向表示原电路中 支路电压和电流关联参考方向。（5）有向图（directed graph） 有 向 图路经 不连通 连通 返回目录17.2 回路 树 割集 一、回路（loop） （1）连通； （2）每个节点关联支路数恰好为2。 253回路 1275 89不是回路 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质 12345678 图G 树支（tree branch）：属于树的支路。 连支（link）： 属于G而不属于T的支路。二、树 （tree） 树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： （1） 连通； （2） 包含G的所有节点； （3） 不包含回路。树不唯一 16个 树T1 树T2 图
4、G 2367树支数 bt= n-1连支数 bl = b-(n-1) 单连支回路（基本回路（fundamental loop）：每个 回路中只包含一个连支，其余均为树支。1234567145树支数 4 连支数 3 单连支回路 独立回路 单连支回路 独立回路 以2，3，6，7为树支， 分别加入1，4，5形成 三个单连支回路三、割集（cut set） 432156（1）把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； （2）保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 例闭合面与支路 2，5，4，6相交 13 图分成两个 分离部分 4256 移去支
5、路 2，5，4，6 432156Q4: 1 , 2 , 5 Q3: 1, 4, 5 Q2: 2, 3 , 6 432156432156例 Q4: 1 , 5，3，6 432156单树支割集（基本割集(fundamental cut set ） 每个割集中只包含一个树支， 其余均为连支。 432156 Q3: 1 , 3 ,5 , 6 Q2: 3 , 4 , 5 Q1: 2 , 3 , 6 432156432156选1，2，4为树支的基本割集 单树支割集 独立割集 单树支割集 独立割集 1，2，3，4 是否组成割集？ 三个分离部分 1，2，3，4 割集 4保留4支路，图不连通的。 1234例1
6、1 2 34例2 1，2，3，4 割集 基本回路 基本割集 1，2，3，4 1，4，5 1，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 基本回路和基本割集关系 对同一个树 （1）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个 这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。 例 由树支4确定的基本割集包含连支3、5 ，则连支3、 5 构成的单连支回路中一定包含树支4 。 4321 56 1，2，4 树支（2) 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。 例 由连支6确定的单连支回路包含树支1，2 ，则由树支1，2所构成的基本割集中一定含有连支6。
7、基本回路 基本割集 1，2，3，4 1，4，5 1，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 4321 56 1，2，4 树支 返回目录17.3 图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质 aij =1 有向支路 j 背离 i 节点 -1 有向支路 j 指向 i 节点0 i节点与 j 支路无关关联矩阵 Aa=aijn b节点数 支路数 Aa=1 2 3 41 2 3 4 5 6 支节1 0 0 - 1 0 1 - 1 - 1 0 0 1 00 1 1 0 0 - 10 0 - 1 1 -1
8、 0Aa=1 2 3 41 2 3 4 5 6 支节1 -1000 -110001 -1-1001010 -110 -10设为参考节点，划去第4行 -1 -1 0 0 1 0A=1 2 31 2 3 4 5 6 支节1 0 0 -1 0 10 1 1 0 0 -1称A为降阶关联矩阵(reduced incidence matrix) (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质 645321按列列写 按行列写 各行不独立 支路电压 设 支路电流 节点电压矩阵形式的KCL 矩阵形式的KCL Ai =-1 -1 0 0 1 01 0 0 -1 0 10 1 1 0 0 -1654321iiiii
9、iAi = 0 645321矩阵形式的KVL 二、基本回路矩阵（fundamental loop matrix）B （2）支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。 1 支路j与回路i关联，方向一致 -1 支路j 与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路 i 中 bij=约定： （1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质 B = b i j l b基本回路数 支路数 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 1 2 3B =4 5 6 1 2 3 支路 回路 1 -1 0 1 0 01 -1 1 0 1 0= Bt 1 设 矩阵形式的KVL 0 1 -
10、1 0 0 1BtBlBu = 0 123654Bu = 0 可写成另一种形式 Bt ut + ul = 0ul = - Btut用树支电压表示连支电压。 连支电压 树支电压 B= Bt 1 用连支电流表示树支电流。 BT il = i矩阵形式的KCL KCL的另一种形式 123654三、基本割集矩阵（fundamental cut set matrix）Q 约定： （1） 割集方向与树支方向相同。（2） 支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。 qij =1 j支路与割集 i 方向一致 -1 j支路与割集 i 方向相反 0 j 支路不在割集 i 中 用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质
11、Q = q i j n-1 b基本割集数 支路数 Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6 设 矩阵形式的KCL Q = 4 5 6 1 2 3 支路 割集 Q1 Q2 Q31 0 0 -1 -1 00 1 0 1 1 -10 0 1 0 -1 1 QlQtQi =0 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 123654用回路矩阵表示时 用连支电流表示树支电流 矩阵形式的KCL的另一种形式 Qi =0 可写成 可见，回路矩阵和割集矩阵有 的关系。 矩阵形式的KVL 用树支电压表示连支电压。 QTut=u KVL的另一种写法 123654QQi = 0QTut= u 小结： u
12、l = - BtutABAi = 0 BTil = i KCL KVL ATun= u Bu=0 矩阵形式的KCL，KVL 返回目录17.4 节点电压法 KCL A i =0 KVL u=Atun 元件特性方程 规定每个支路必须有一个阻抗 设标准支路(k支路）为 -k支路抽象为 k列方程 依据Yk：导纳 k支路电压、电流关系： 设 Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb Z=Y-1 -支路电流的矩阵方程 为 b条支路电压与电流关系的矩阵形式为 由KCL A i =0 由KVL u=Atun 节点导纳阵（node admittance matrix） 得节点电压方程 由此求得支路电压和电流 可得 （1）画有向图。 （2） 5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-例1 列写图示电路的节点电压方程。1
