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1、第二章第二章 测量误差与不确定度基础及测测量误差与不确定度基础及测 量数据处理量数据处理第一节第一节 测量误差的基本概念测量误差的基本概念实际测量中，由于对客观规律认识的局限性、测量器具不准确、 测量手段不完善、测量条件发生变化及测量工作中的疏忽或错误等原 因，都会使测量结果与真值不同。一、测量误差的定义一、测量误差的定义测量误差是指测量误差是指测量结果测量结果与与被测量真值被测量真值的差别。的差别。真值：一个量在被观测时所具有的真实大小。真值：一个量在被观测时所具有的真实大小。测量误差可用测量误差可用绝对误差绝对误差和和相对误差相对误差表示。表示。1 1、绝对误差、绝对误差绝对误差又叫做绝对
2、误差又叫做绝对真误差绝对真误差，它可以表示为，它可以表示为x：绝对真误差x：被测量的测量值x0：被测量的真值2 2、相对误差、相对误差绝对真误差绝对真误差不能不能确切反映测量的准确程度。确切反映测量的准确程度。（1 1）相对真误差（相对误差）相对真误差（相对误差）相对真误差指相对真误差指绝对误差绝对误差与与被测量真值被测量真值的比值，表示为的比值，表示为示值相对误差（标称相对误差）：绝对误差示值相对误差（标称相对误差）：绝对误差x x与测量值与测量值x x的比的比 值，绝对误差较大时不适合用示值相对误差表示。值，绝对误差较大时不适合用示值相对误差表示。一些仪器的准确程度，常用误差的绝对形式和相
3、对形式表示一些仪器的准确程度，常用误差的绝对形式和相对形式表示 。【例】某信号发生器输出脉冲宽度误差表示为：10%0.025us（2 2）分贝误差）分贝误差相对误差的对数表示相对误差的对数表示在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，称为分贝误差。在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，称为分贝误差。分贝误差与相对真误差分贝误差与相对真误差【例】测量某电路网络，其电压传递函数真值为A0，可以将A0用分贝表示 为电压传递函数测量值A，用分贝表示为A与A0之间相差A，即AdB与A0dB之间相差dB，即dB与关系怎样呢？【例】某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次测得电压增益A 95，求该测量的
4、相对误差和分贝误差。【例】某电压放大器，ui1.2mV，测得uo6000mV，设ui的误差不计，uo 的测量误差13%。求该电压放大器电压增益的绝对误差A、相对误 差及分贝误差dB。3 3、引用误差、引用误差引用误差指测量值的引用误差指测量值的绝对误差绝对误差与与仪表量程仪表量程的比值，用来表示仪表的的比值，用来表示仪表的 准确程度。准确程度。常用的电工仪表分为七个级别，表示它们引用误差不超过的百分比：常用的电工仪表分为七个级别，表示它们引用误差不超过的百分比：【例】检定一个1.5级量程为100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大， 为1.4mA，其他刻度处误差均小于1.4mA，问此电流表
5、是否合格？二、测量误差的分类二、测量误差的分类根据测量误差的性质和特点，测量误差可分为系统误根据测量误差的性质和特点，测量误差可分为系统误 差、随机误差和粗大误差三类。差、随机误差和粗大误差三类。（一）系统误差（一）系统误差在相同条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得在相同条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得 结果的平均值与被测量的真值之差称为系统误差。结果的平均值与被测量的真值之差称为系统误差。在重复条件下测量同一量时，系统误差的在重复条件下测量同一量时，系统误差的绝对值绝对值和和符符 号号保持恒定保持恒定。修正值：用于修正系统误差；由于系统误差确切值的修正值：用于修正系统误差；由于系
6、统误差确切值的 不可知，修正值对系统误差的修正并不是完美的，但能够不可知，修正值对系统误差的修正并不是完美的，但能够 使测量结果更接近于真值。使测量结果更接近于真值。（二）随机误差（二）随机误差在重复条件下，某次测量结果与对同一被测量进行无限在重复条件下，某次测量结果与对同一被测量进行无限多次测量所得结果平均值之差称为这次测量的随机误差。多次测量所得结果平均值之差称为这次测量的随机误差。随机误差是由对测量结果影响较小的、互不相关的因素随机误差是由对测量结果影响较小的、互不相关的因素 引起的。引起的。某一次测量的随机误差不可预测、不能控制，但足够多某一次测量的随机误差不可预测、不能控制，但足够多
7、次测量中，随机误差总体上服从统计的规律。次测量中，随机误差总体上服从统计的规律。在多次测量中，随机误差的特性：在多次测量中，随机误差的特性： 有界性有界性随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限；随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限； 对称性对称性绝对值相等的正负误差出现的机会相同；绝对值相等的正负误差出现的机会相同； 抵偿性抵偿性随机误差的算术平均值随着测量次数的无限增加而随机误差的算术平均值随着测量次数的无限增加而 趋于零。趋于零。（三）粗大误差（三）粗大误差超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。粗大误差使测量结果明显偏离真值。粗大误差使测量结
8、果明显偏离真值。对含有粗大误差的测量值做剔除处理。对含有粗大误差的测量值做剔除处理。三、测量误差的估计和处理三、测量误差的估计和处理根据不同误差的性质和特点，对其处理的方法也不同。根据不同误差的性质和特点，对其处理的方法也不同。（一）随机误差的统计处理（一）随机误差的统计处理足够多次测量中，随机误差体现了很强的规律性。对随足够多次测量中，随机误差体现了很强的规律性。对随机误差的研究采用概率、统计的方法，研究随机误差的分布机误差的研究采用概率、统计的方法，研究随机误差的分布 形状和主要数字特征。形状和主要数字特征。 1 1、随机误差的概率分布密度、随机误差的概率分布密度电子测量中常用的概率分布密
9、度的图形（分布曲线）有电子测量中常用的概率分布密度的图形（分布曲线）有：正态分布、矩形（均匀）分布、三角分布等。：正态分布、矩形（均匀）分布、三角分布等。（1 1）正态分布）正态分布服从正态分布随机误差形成因素应满足服从正态分布随机误差形成因素应满足中心极限定理中心极限定理 的条件。即随机误差为多种互不相关的因素造成的许多微的条件。即随机误差为多种互不相关的因素造成的许多微 小误差的总和。小误差的总和。服从正态分布的随机误差概率密度表达式：服从正态分布的随机误差概率密度表达式：该随机误差影响下的测量值概率密度表达式：该随机误差影响下的测量值概率密度表达式：（2 2）矩形分布）矩形分布矩形分布又
10、称均匀分布。矩形分布又称均匀分布。（3 3）三角形分布）三角形分布2 2、随机误差影响下测量值的数学期望和方差、随机误差影响下测量值的数学期望和方差随机误差的影响，使测量值在一定范围内上下波动，测随机误差的影响，使测量值在一定范围内上下波动，测 量值是一个随机变量。测量值的取值可能是连续的，也可能量值是一个随机变量。测量值的取值可能是连续的，也可能 是离散的。是离散的。（1 1）测量值为离散值时的数学期望和方差）测量值为离散值时的数学期望和方差假设测量值假设测量值X X的可能取值个数为的可能取值个数为m m，对其进行，对其进行n n次测量次测量 ，测量值，测量值X X的数学期望表示为：的数学期
11、望表示为：当当nn时，可以用第时，可以用第k k个取值发生的频率个取值发生的频率n nk k/n/n来代替第来代替第k k 个取值发生的概率个取值发生的概率p pk k（k k1 1m m）。则测量值）。则测量值X X的数学期望表的数学期望表 示为：示为：以以1/n1/n取代取代n nk k/n/n，上式可写成：，上式可写成：测量值的数学期望反映了测量值的平均情况，并不能体测量值的数学期望反映了测量值的平均情况，并不能体 现测量值的离散程度。测量值的离散程度通常用测量值的方现测量值的离散程度。测量值的离散程度通常用测量值的方 差差D D（X X）来表示。）来表示。方差的物理意义方差的物理意义
12、标准偏差（标准差、均方差）：方差的算术平方根标准偏差（标准差、均方差）：方差的算术平方根（2 2）测量值为连续值时的数学期望和方差）测量值为连续值时的数学期望和方差测量值在其取值区间内连续的时候，取值有无穷多个，测量值在其取值区间内连续的时候，取值有无穷多个， 某一个取值出现的可能性（概率）趋于某一个取值出现的可能性（概率）趋于0 0，此时只能用，此时只能用概率密概率密 度度的概念来对测量值进行分析。的概念来对测量值进行分析。概率密度表达式：概率密度表达式：测量值的数学期望为：测量值的数学期望为：测量值的方差为：测量值的方差为：3 3、用有限次测量值估计数学期望和方差、用有限次测量值估计数学期
13、望和方差总体的数学期望和标准偏差总体的数学期望和标准偏差单次测量的数学期望和标准偏差单次测量的数学期望和标准偏差实际测量是有限次测量，只能根据实际测量是有限次测量，只能根据n n次测量结果对测次测量结果对测 量值数学期望和方差进行估计。量值数学期望和方差进行估计。随机样本（样本）随机样本（样本）（1 1）有限次测量值平均值的性质）有限次测量值平均值的性质有限次测量平均值的数学期望与测量值数学期望的有限次测量平均值的数学期望与测量值数学期望的 关系关系有限次测量平均值的方差与测量值方差的关系有限次测量平均值的方差与测量值方差的关系（2 2）数学期望和方差的估计）数学期望和方差的估计判断估计合理的
14、两个原则：判断估计合理的两个原则：估计的估计的一致性原则一致性原则和和无偏性原则无偏性原则 A A、一致性原则、一致性原则假设假设 为为 的估计值，当样本容量的估计值，当样本容量n n无限增大时，估无限增大时，估 计值计值 依概率收敛于依概率收敛于 ，则称，则称 为为 的一致估计值。的一致估计值。B B、无偏性原则、无偏性原则如果如果 的数学期望等于的数学期望等于 ，则，则 可以作为可以作为 的无偏估的无偏估 计值。计值。数学期望的估计：数学期望的估计：用用n n次测量的平均值作为次测量的平均值作为M M（X X）的估计值。）的估计值。方差的估计：方差的估计：贝塞尔公式贝塞尔公式残差（剩余误差
15、）：残差（剩余误差）：n n次测量中第次测量中第k k次测量值与平均值之差次测量值与平均值之差（三）处理系统误差的一般方法（三）处理系统误差的一般方法对系统误差，没有通用的处理方法，通常针对具体的测对系统误差，没有通用的处理方法，通常针对具体的测 量条件采用一定的技术措施尽量减小系统误差对测量结果的量条件采用一定的技术措施尽量减小系统误差对测量结果的 影响。影响。1 1、系统误差的判别、系统误差的判别 系统误差可分为恒值系差和变值系差系统误差可分为恒值系差和变值系差（1 1）理论分析法）理论分析法（二）用统计学方法剔除异常数据（二）用统计学方法剔除异常数据（2 2）剩余误差观察法）剩余误差观察
16、法测量中，固定其他测量条件不变，使某一条件有规律变测量中，固定其他测量条件不变，使某一条件有规律变 化，记录测量值，计算剩余误差。化，记录测量值，计算剩余误差。观察剩余误差的变化规律，从而了解系统误差随该条件观察剩余误差的变化规律，从而了解系统误差随该条件 的变化规律。的变化规律。WHYWHY？假设该测量中，系统误差由变化部分和恒定部分组成，假设该测量中，系统误差由变化部分和恒定部分组成， 则测量值可以写成：则测量值可以写成：随机误差较大时，剩余误差中随机误差起主导作用，观察剩余随机误差较大时，剩余误差中随机误差起主导作用，观察剩余 误差的变化规律就很难发现系统误差的变化规律。误差的变化规律就很难发现系统误差的变化规律。（3 3）公式判断法）公式判断法 马利科夫判据马利科夫判据常用来判别累进性系统误差常用来判别累进性系统误差阿卑赫梅特判据阿卑赫梅特判据 常用来判别周期性系统
