2011年《创新设计》7-5

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1、(认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题)7.5 直线与平面垂直1定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a.2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行4二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图

2、形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为，的二面角记为l；5二面角的平面角一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则AOB是l的平面角 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过经过 另一个平面的一条垂线线，那么这这两个平面互相垂直8两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们们的交线线的直线线垂直于另一个平面1对对于任意的直线线l与平面，在平面内必有直线线m，使m与l( ) A平行 B相交 C垂直 D互为为异面直线

3、线解析：若直线l，l，或l，虽然在内必有直线m，使ml；若l是平面的斜线可找出其射影l，则存在直线ml，即ml.答案：C2如图图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为别为 和 .过过A、B分别别作两平面交线线的垂线线，垂足为为A、B，若AB 12，则则AB等于( )A4 B6C8 D9 解析：连结AB可知ABA ，则ABABcos 6 ，连结AB可知BAB ，则BBABcos 6 ，在RtBBA中，AB 6.答案：B3已知平面，l，P是空间间一点，且P到平面、的距离分别别是1、2，则则点P到l的距离为为_解析：如图，PO平面PAB，lPO.PO就是P到直线l的距离，PAOB为矩形，

4、4平行四边边形的一个顶顶点A在平面内，其余顶顶点在的同侧侧，已知其中有两个顶顶点到的距离分别为别为 1和2，那么剩下的一个顶顶点到平面的距离可能是：1；2；3；4.以上结论结论 正确的为为_(写出所有正确结论结论 的编编号)答案： 证线证线 面垂直的方法：(1)利用线线面垂直定义义：证证一直线线垂直于平面内任一直线线，则这则这 条直线线垂直于该该平面(2)用线线面垂直的判定定理：证证一直线线与平面内两相交直线线都垂直，则这则这 条直线线与平面垂直(3)用线线面垂直的性质质：两平行线线之一垂直于这这个平面，则则另一条也必垂直于这这个平面(4)用面面垂直的性质质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交

5、线线的直线线必垂直于另一平面(5)用面面平行的性质质：一直线线垂直于两平行平面之一，则则必垂直于另一平面【例1】 如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O平面MAC.证明：证证法一：如图图(1)，连结连结 AB1、CB1，由AB1CB1，又O为为AC的中点，B1OAC.连结连结 OM、MB1、B1D1，可证证 ，B1OOM.根据直线线与平面垂直的判定定理知：B1O平面MAC.证证法二：如图图(2)建立直角坐标标系Dxyz，设设DD11则则M、C、B1、O的坐标标分别为别为 (0,0， )、(0,1,0)、(1,1,1)、( ， ，0)

6、 (0,1， )， ( ， ，1)， 0，因此 .同理可证证： ，B1O平面MAC.变式1.在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD，试证：ADBC.证明：证证法一：如右图图，过过A点作AO平面BCD，垂足为为O，连结连结 BO、CO、DO. 由ABCD，ACBD，根据三垂线线定理的逆定理知：BOCD，COBD，则则O为为BCD的垂心，DOBC.根据三垂线线定理知ADBC.证证法二：设设 根据已知条件得a(bc)0，即ADBC.点评：证法一非常典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用；而证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点.1.平面与平面的垂直问题问题 可

7、转转化为为直线线与平面的垂直问题问题 解决2利用平面与平面垂直的性质质定理，可以有所选择选择 地作出一个平面的垂线线，进进而可解决空间间的成角和距离等问题问题 ，因此作平面的垂线线也是立体几何中最重要的辅辅助线线之一【例2】 如右图图，l，A，B，点A在直线线l上的射影为为A1，点B在l上的射影为为B1.已知AB2，AA11，BB1 ，求：(1)直线线AB分别别与平面、所成角的大小；(2)二面角A1ABB1的大小解答：如图，(1)连结A1B，AB1.，l，AA1l，AA1.A1B为AB在内的射影，ABA1为AB与所成的角，在RtAA1B中，AA11，AB2，ABA130.同理BAB1为AB与所

8、成的角，在RtABB1中，BB1 ，AB2，BAB145.(2)由知BB1，则则平面平面ABB1，作A1M平面ABB1垂足为为M，作MNAB，垂足为为N，连结连结 A1N(如图图)，由三垂线线定理知，A1NAB，则则A1NM为为二面角A1ABB1的平面角，在RtAA1B1中，A1M ，在RtAA1B中，A1N ，在RtA1NM中，sinA1NM ，A1NMarcsin ，所求二面角A1ABB1的大小为为arcsin .变式2.如图所示，直二面角DABE中，四边边形ABCD是边长为边长为 2的正方形， AEEB，F为为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证证AE平面BCE；(2)求二面角BAC

9、E的大小；(3)求点D到平面ACE的距离解答：(1)证明：在直二面角DABE中，由ABCD是正方形，则则CB平 面AEB，AEBC，又BF平面ACE，则则AEBF，AE平面BCE.(2)由(1)知平面AEC平面BCE，又BF平面ACE，则则BFEC，连结连结 BD与AC交于O点，连结连结 OF(如图图)，由三垂线线定理的逆定理知FOAC，又ACBD，则则BOF为为二面角BACE的平面角，在RtAEB中，BE ，在RtEBC中，BC2，BF ，在RtBFO中，sinBOF ，BOFarcsin .(3)由DOBO知D点到平面ACE的距离为为BF .解决二面角问题问题 的主要过过程是作图图、论证论

10、证 与计计算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定义义，利用三垂线线定理和逆定理等【例3】 如右图图所示，在三棱锥锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直 平分SC且分别别交AC、SC于D、E，又SAAB，SBBC.(1)求证证：BD平面SAC； (2)求二面角EBDC的大小解答：(1)证明：DESC且E为为SC的中点，又SBBC，BESC，根据直线线与平面垂直的判定定理知：SC平面BDE，SCBD，又SA平面ABC，SABD，因此BD平面SAC.(2)由(1)知EDC为为二面角EBDC的平面角，又SACDEC，EDCASC，在RtSAB中，A90，设设SAAB

11、1，则则SB .由SABC，ABBC，BC平面SAB，BCSB，在RtSBC中，SBBC ，SBC90，则则SC2，在RtSAC中，A90，SA1，SC2，ASC60，即二面角EBDC的大小为为60.变式3.如图所示，在四面体PABC中，已知PABC6，PCAB10，AC8，PB2 .F是线线段PB上一点，CF ，点E在线线段AB 上，且EFPB.(1)证证明：BP平面CEF；(2)求二面角BCEF的大小解答：(1)证明：PA2AC2PC2，PA2AB2PB2，PC2CB2PB2，AC2CB2AB2.PACPABPCBACB90，又 ，PCBPFC.则则PFC90，又EFPB，因此PB平面CE

12、F.(2)由(1)PA平面ABC，则则PAEC，又PB平面CEF，CEPB则则CE平面PAB，因此CEEF，CEEB，则则FEB为为二面角BCEF的平面角，在ABP中，tanFEBtanAPB ，FEBarctan .即二面角BCEF的大小为为arctan .【方法规律】1(1)在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化(2)利用向量的内积证明线线垂直是非常有效的2(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的(2)二面角

13、平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据. (本题满分5分)已知平面与所成的二面角为80，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30，则这样的直线有且仅有( ) A1条 B2条 C3条 D4条解析：如图，过P分别作、的垂线PC、PD，其确定的平面与棱l交于Q，若二面角为80，AB与平面、成30角，则CPD100，AB与PD、PC成60角，因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成的角为60的直线有几条 60， 60，这样的直线有4条答案：D 【答题模板】面面垂直的性质定理是立体