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1、第二章 阶段复习课一、合情推理与演绎推理1.归纳推理和类比推理归纳归纳 推理类类比推理定 义义由某类类事物的部分对对象具有某 些特征，推出该类该类 事物的全部 对对象都具有这这些特征的推理， 或者由个别别事实实概括出一般结结 论论的推理，称为归纳为归纳 推理(简简 称归纳归纳 ).由两类对类对 象具有某些类类似特 征和其中一类对类对 象的某些已 知特征，推出另一类对类对 象也 具有这这些特征的推理称为类为类 比推理(简简称类类比).特 征归纳归纳 推理是由部分到整体，由 个别别到一般的推理.类类比推理是由特殊到特殊的推 理. 2.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观
2、察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.(2)对合情推理的认识:归纳推理合情推理 类比推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理(逻辑推理).(2)特点：由一般到特殊的推理.(3)演绎推理是数学中证明的基本推理形式.演绎推理的一般模式“三段论”：大前提：已知的一般原理(M是P);小前提：所研究的特殊情况(S是M);结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).二、综合法和分析法1.综合法(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这
3、种证明方法叫做综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)其推理方式可用框图表示为：其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1,Q2,表示中间结论综合法常用的表达格式为：P，Q1;又Q1，Q2;又Qn，Q. 2.分析法(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.又叫逆推证法或执果索因法.(2)其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论【辨析】综合法与分析法的比较综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点.分析法解
4、题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程.三、反证法1.反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2.反证法的证明过程包括以下三个步骤四、数学归纳法1.数学归纳法的含义证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(kn0，
5、kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2.对数学归纳法的几点认识(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题.(2)两个步骤缺一不可，否则不能说明结论成立.(3)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换.(4)完成第(1)和(2)证明后，要对命题成立进行总结. 请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧！AGCFEDBH【备选答案】A.归纳推理 B.间接证明 C.演绎推理 D.分析法 E.由因导
6、果 F.结论G.由特殊到特殊的推理 H.数学归纳法一、合情推理1.类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是方法的类比，用于寻找方法.常见的类比有平面空间，等差数列 等比数列，实数复数，向量点乘积实数积等.2.合情推理与演绎推理既有联系又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者又论证前者的可靠性.【例1】(1)设f(x)= 又记f1(x)=f(x),f(k+1)(x)=ffk(x),k=1,2,，则f2 012(x)等于( )(A) (B)x (C) (D)(2)已知数列an为等差数列，若am=a,an=b(n-m1,m,nN*)，则 类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0
7、,nN*)，若bm=c,bn=d(n-m2,m,nN*)，则可以得到bm+n=_.(3)设等差数列an的前n项和为Sn,则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4，_，_， 成等比数列.【解析】(1)选B.计算归纳得f4k(x)=x,kN*，从而f2 012(x)=x.(2)观察等差数列an的性质：am+n= 则联想nb-ma对应等比数列bn中的 而an中除以(n-m)对应等比数列中开(n-m)次方.答案：(3)根据类比原理知此题顺次应填答案：【例2】写出用三段论证明f(x)=x3+sinx(xR)为奇函数的步骤.【解析】
8、满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数.(大前提)因为f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x).(小前提)所以f(x)=x3+sinx是奇函数.(结论)二、直接证明综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用.【例3】已知数列an和bn满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，数列bn的前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式;(2)设Tn=S2n-Sn，求证：Tn+1Tn.【解析】(1)由bn=an-1,得an=bn+1,代入an-
9、1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1.整理得bn-bn+1=bnbn+1,由题意知，bn0(否则an=1与a1=2矛盾),从而得b1=a1-1=1,数列 是首项为1，公差为1的等差数列. =n,即(2)Sn=方法一(综合法):Tn+1-Tn=Tn+1Tn. 方法二(分析法)：Tn+1Tn S2n+2-Sn+1S2n-Sn S2n+2-S2nSn+1-Sn 2n+22n+1 21,显然成立，故Tn+1Tn.三、间接证明反证法1.用直接法证明，较难入手，用反证法证明则简洁明了.题目中如果有“不是”“至少”“不可能”等词语时，通常考虑反证法.2.反证法.反证法体现了正难则反的思维方法
10、，用反证法证明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)；(3)从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设”错误.既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立).【例4】等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ S3=9+3(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;(2)设bn= (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解析】(1)由已知得 d=2,故an=2n-1+ Sn=n(
11、n+ ).(2)由(1)得假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等，且p,q,rN*)成等比数列，则即p,q,rN*, =pr,(p-r)2=0,p=r，这与pr矛盾.所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 四、数学归纳法1.归纳、猜想、证明是一种重要的数学思想，一般是先根据通项的递推关系或者前n项和公式写出数列的前几项，根据前几项的联系猜测其通项公式，猜测要合理，然后根据已知条件对猜测的公式给出证明，其证明方法一般是数学归纳法.2.数学归纳法解题步骤(1)当n取第一个值n0(例如n0=1)时，证明命题成立；(2)假设当n=k(kn0,kN*)时命题成立，并证明当
12、n=k+1时，命题也成立.于是对一切nn0，nN*,命题都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的.【例5】在数列an,bn中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(nN*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1, =bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
13、用数学归纳法证明：当n=1时，由以上知结论成立.假设当n=k(k1)时，结论成立，即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1= =(k+2)2.所以当n=k+1时，结论也成立.由可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)当n=1时，当n2时，由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)2(n+1)n.故综上，原不等式成立. 【例6】已知等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求
14、r的值;(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*)，证明对任意的nN*,不等式 成立.【解析】(1)由题意：Sn=bn+r,当n2时，Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b0且b1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即 解得r=-1.(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN*),所证不等式为当n=1时，左式= 右式=左式右式，所以结论成立,假设n=k(kN*)时结论成立，即 则当n=k+1时，要证当n=k+1时结论成立，只需证 即证由基本不等式得 成立，经验证等号不成立.所以，当n=k+1时，结论成立.由可知，nN*时，不等式 成立.1.用反证法证明“如果ab，那么 ”，假设内容应是( )(A) (B)(C) (D)【解析】选D.假设结论不成立，即 的否定为2.在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为( )(A)12 (B)14(C)18 (D)116【解析】选C.两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.3.若从点O
