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第一章 集合和命题1.5.1 充分条件、必要条件 1.5.2 充分条件、必要条件是 的充分条件是 的必要条件是 的充分必要条件复习 把左、右两边等价的说法的用线连起来是 的必要条件一、充要条件，即 则称 是 的充分且必要条件,简称充要条件.已知命题 “如果 ，那么 ”如果 ，且是 的充要条件又常说成： 是 的充要条件;注意： (1)与 等价;(2) 当且仅当 .(3)例“ ”是的充要条件. “ ”与等价.是偶数是2的整数倍 “ ” 当且仅当 .例1.判断下列 p 与 q 是否等价 (1)(2)(3)(4)(5) 已知有两个相等实根不等价不等价不等价等价等价证：又例2.已知实系数一元二次方程 求证“方程有两个相等实数根” 的充要条件 是“ ”.二、关于充分条件、必要条件的证明证：充分性例2.已知实系数一元二次方程 求证“方程有两个相等实数根” 的充要条件 是“ ”.二、关于充分条件、必要条件的证明证：必要性方程有两个相等的实数根证毕例3.求证：“ 且 ”成立的充要条件是 “ 且 ” . 证：充分性 或 中至少有一个大于零 且 必要性 且又两个正数的和或乘积都是正数 因此，且 .证毕(选用)例4.证明成立的充分非必 要条件是 证：充分性非必要性 时， 证毕
