《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16恒成立问题——参变分离法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16恒成立问题——参变分离法（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题专题 1616 恒成立问题恒成立问题参变分离法参变分离法【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视
2、为参数） ，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密” ，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：21logaxx，111axxex等（2）
3、要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值） ，若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值） ，则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x为自变量，其范围设为D， f x为函数；a为参数， g a为其表达式）（1）若 f x的值域为,m M ,xD g af x ，则只需要 ming af xm ,xD g xf x ，则只需要 ming af xm ,xD g af x ，则只需要 max=g af xM ,xD g af x ，则只需要 max=g af xM ,xD g af x ，则只需要
4、 maxg af xM2 ,xD g af x ，则只需要 maxg af xM ,xD g af x ，则只需要 ming af xm ,xD g af x ，则只需要 ming af xm（2）若 f x的值域为,m M ,xD g af x ，则只需要 g am ,xD g af x ，则只需要 g am（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM ,xD g af x ，则只需要 g aM（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g aM ,xD
5、g af x ，则只需要 g am（注意与（1）中对应情况进行对比） ,xD g af x ，则只需要 g amx/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为 3 个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量） ，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元） ，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题经典例题】例 1 【2018 年（衡水
6、金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大 1,2 + 2 + 3 0值为（ ）A. B. C. 4 D. 1 + 3 22 + +3 2 1【答案】A【解析】 2 + 2 + 3 03 2 + +3 设，则()= 2 + +3 ()=2 + 1 32=( + 3)( 1)2 (1) () 1 + 3 2故选例 2.【2018 届河北省邯郸市高三 1 月】已知关于的不等式在上恒成立，则实数x2cos2mxx,2 2 的取值范围为（ ）mA. B. C. D. 3,3,2,2,【答案】C【解析】最大值,因为当时 22 cosxmx0,2x22 22 cos2sin2()coscosxxxx
7、x xx令 cossin ,cossincos000yxxx yxxxxy y因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选 C.2 2()0cosx x22 cosx x22 cosx x202cos02m 例 3 【2018 届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在 2212ln22f xxaxxxax4上是增函数，则实数的取值范围是（ ）0,aA. B. C. D. 1 10,11,0【答案】B【解析】 221222f xxax lnxxax 2fxxa lnx在上是增函数， f x0 ，在上恒成立 0fx 0 ，故选B例 4 【2018 届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在
8、上单调递 24logmxmf xx0m 1m 2,3增，则实数的取值范围为（ ）mA. B. C. D. 1,3636, 1,1636,1,16【答案】D【解析】由题意，不妨设，则，由时为减 244xmmg xxxx 22244mxmgxxx 0gx g x函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数24mx24yx2 3，2 max4 336y36m 为增函数，一减一增为减，故不合题意；logmyx5同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以， 0gx g x24mx24yx2 3，2 min4 216y所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选 D.16m 1m
9、 logmyx116m例 5.已知函数 lnaf xxx，若 2f xx在1,上恒成立，则a的取值范围是_【答案】1a 【解析】恒成立的不等式为2lnaxxx，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：233lnlnlnaxxxxaxaxxxx，其中1,x只需要3maxlnaxxx，令 3lng xxxx2( )1ln3g xxx （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x变为1 x，所以二阶导函【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符
10、号.例 6【2018 届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.()= + （1）讨论函数的单调性；()（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数 的取值范围. (1, + ) = () = (2 1)【答案】 （1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在 0()(0, + ) 0()(0, 1 )当时，在上单调递减. 1 () + (1, + )即，不等式恒成立. (1, + )(2 ) 当时， 12 0 2 即证当时， 大于的最大值. 1()=2 又当时， 10 1)综上所述，. 1【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：
11、分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可） ； 数形结合( () () () ()图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用 = () = ()() 0() 0方法 求得 的范围.例 7【2018 届广东省肇庆市高三三模】已知函数，.() = + 1（）讨论的单调区间；()（）若 ,且恒成立. 求 的最大值. = 4, + 11（2）由得， + 11令 () =( + 1)(4 + ) , 1() = 3 2, 1， () = 3 , 1() = 1 1 0( 1)，()在（1， + ）递增(4) = 1 - ln4 0， 0 (4,5),使(0) = 0且 (1,0),()
12、0,() 0,()递增() =( + 1)(4 + 0) ,且(0) = 0 3 0= 0(0) =( + 1)2= 0+1+ 2 (254,365)令 +1 + 2 = 7, = 0=5 +212,(0) =21 12 5 +212 0， 0 (4,5 +212),(x0) = 0+1+ 2 (254,7)又 , 6综上：的最大值为6点睛：分离参数是处理参数问题的一种重要方法.处理参数问题，常用的有分离参数和分类讨论，如果分离参数方便，就选分离参数.本题就是分离参数，大大地提高了解题效率，优化了解题.例 8【2018 届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断性测验】设函数，其中 为非() = () =( + ) () + 零实数.8（1）当时，求的极值； = 1()（2）是否存在 使得恒成立？若存在，求 的取值范围，若不存在请说明理由.() 【答案】(1)有极大值，无极小值；(2)见解析.()(1) = 2试题解析：（1） ，()= ( + )
